Question

2010年武汉市数学中考试卷及答案（填空题第16题的答案及解题过程）

要详细

Answer 1

考点：反比例函数综合题．
分析：先求出直线与x轴和y轴的两交点D与A的坐标，根据OA与OD的长度求出比值即可得到角ADO的正切值，利用特殊角的三角函数值即可求出角ADO的度数，然后过B和C分别作y轴的垂线，分别交于E和F点，联立直线与双曲线方程，消去y后得到关于x的一元二次方程，利用韦达定理即可表示出EB与FC的积，然后在直角三角形AEB中利用cos∠ABE表示出EB与AB的关系，同理在直角三角形AFC中，利用cos∠ACF表示出FC与AC的关系，根据AB•AC=4列出关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值．解答：
解：对直线方程 y=-√3/3x+b，令y=0，得到x= √3b，即直线与x轴的交点D的坐标为（ √3b，0），
令x=0，得到y=b，即A点坐标为（0，b），
∴OA=b，OD= √3b，
∵在直角三角形AOD中：tan∠ADO= OA/OD= √3/3，
∴∠ADO=30°，即直线y=- √3/3+b与x轴的夹角为30°，
∵直线y=- √3/3x+b与双曲线y= k/x在第一象限交于点B、C两点，
∴- √3/3x+b= k/x，即- √3/3x²+bx-k=0，
由韦达定理得：x1x2= c/a= √3k，即EB•FC= √3k，
∵ EB/AB=cos30°= √3/2，∴AB= 2√3/3EB，
同理可得：AC= 2√3/3FC，
∴AB•AC=（ 2√3/3EB）（ 2√3/3FC）= 4/3EB•FC= 4/3√3k=4，
解得：k= √3．
点评：本题考查函数图象交点坐标的求法，同时考查了三角函数的知识，难度较大．