Question

高一数列问题

已知数列｛an｝是首项为1的等比数列，且an＞0，｛bn｝是首项为1的等差数列，又a5+b3=21，a3+b5=13
（1）求数列｛an｝，｛bn｝的通项公式
（2）求数列｛bn/2an｝的前n项和Sn

Answer 1

解：设an=1+(n-1)d,bn=q^(n-1)
由a3+b5=21,a5+b3=13得到
2d+q^4=20 （1）
4d+q^2=12 （2）
（1）×2-（2）消去d得到
2q^4-q^2-28=0,即(q^2-4)×(2q^2+7)=0，
得到q^2=4，q=2
带入（2）得到d=2
an/bn=(2n-1)/2^(n-1)
Sn=1/2^0+3/2^1+5/2^2+......+(2n-1)/2^(n-1) …… (1)
(1/2)Sn=1/2^1+3/2^2+......+(2n-3)/2^(n-1)+(2n-1)/2^n
……(2)
(1)-(2)
得到：(1/2)Sn=-1/2^0+2×[1/2^0+1/2^1+1/2^2+......+1/2^(n-1)]-(2n-1)/2^n
=-1+4[1-1/2^n]-(2n-1)/2^n

所以Sn=6-(2n+3)/2^(n-1)

追问

你题好像看错了，数列｛an｝是首项为1的等比数列，｛bn｝是首项为1的等差数列，如果你修改过来且正确的话，我将采纳你的答案

追答

解：设an=1+(n-1)d,bn=q^(n-1)
由a3+b5=21,a5+b3=13得到
2d+q^4=20 （1）
4d+q^2=12 （2）
（1）×2-（2）消去d得到
2q^4-q^2-28=0,即(q^2-4)×(2q^2+7)=0，
得到q^2=4，q=2
带入（2）得到d=2
an=2n-1,bn=2^(n-1)
bn/2an=(2n-1)*2^(n-2)
Sn=1/2^(-1)+3/2^0+5/2^1+......+(2n-1)/2^(n-2) …… (1)
(1/2)Sn=1/2^0+3/2^1+......+(2n-3)/2^(n-2)+(2n-1)/2^(n-1) ……(2)
(1)-(2)
得到：(1/2)Sn=-1/2^(-1)+2×[1/2^0+1/2^1+1/2^2+......+1/2^(n-2)]-(2n-1)/2^(n-1)
=-2+4[1-1/2^(n-1)]-(2n-1)/2^(n-1)
=2-1/2^(n-3)-(2n-1)/2^(n-1)=2-(5-2n)/2^(n-1)

追问

数列｛an｝是等比数列，｛bn｝是等差数列，而你设成了an=1+(n-1)d,bn=q^(n-1) ，结果写成了an=2n-1,bn=2^(n-1)，那不就变成｛an｝是等差数列，｛bn｝是等比数列了吗？

Answer 2

(1)由题意设a(n)=q的n-1次方,b(n)=1+(n-1)d.将已知条件代入得q=1,d=2所以a(n)=2的n-1次方,bn=2n-1 (2)由上题可得b(n)/2a(n)=(2n-1)/2的n次方 S(n)=1/2+3/4+5/8+...+(2n-1)/2的n次方 1/2S(n)=1/4+3/8+5/16+...+(2n-3)/2的n次方+(2n-1)/2的n+1次方,两式作差可得S(n)=3-(2n+3)/2的n次方.希望能帮到你,谢谢！