Question

如果某非其次线性方程组的增广矩阵经初等行变化成了阶梯形矩阵 【1 -1 2 4 0 1 -3 -1 0 0 1 2】

求出该方程组的解

Answer 1

系数行列式为0，说明系数矩阵的秩小于n。如果增广矩阵的秩和系数矩阵的秩相同(都小于n)n，方程有无穷解。如果增广矩阵的秩比系数矩阵大1，那么方程组就无解了。

推导过程：

常数项全为0的n元线性方程组。

线性方程形式

形为 ax+by+...+cz+d=0 ，关于x、y的线性方程，是指经过整理后能变形为ax+by+c=0的方程（其中a、b、c为已知数，a、b不同时为0）。

一元线性方程是最简单的方程，其形式为ax=b。因为把一次方程在坐标系中表示出来的图形是一条直线，故称其为线性方程。

Answer 2

1 -1 2 4
0 1 -3 -1
0 0 1 2

求线性方程组的解, 一般要化成行简化梯矩阵, 这其实就是回代的过程
r1-2r3, r2+3r1
1 -1 0 0
0 1 0 5
0 0 1 2

r1+r2
1 0 0 5
0 1 0 5
0 0 1 2

所以解为: X = (5,5,2)^T. 即 x1=5,x2=5,x3=2.

Answer 3

先求出特解，再求该方程为齐次线性方程组的解，两个解一相加，就是该非齐次线性方程组的解。只有求非齐次线性方程组的解才会要求求特解。
通过你给的增广矩阵，知：R(A)=R(增广A)=3，即它是满秩，则方程组有唯一的非零解。
特解即求下面方程的一个特殊解
x1-x2+2x3=4
x2-3x3=-1
x3=2
求得为：(5，5，2)' （“'”表示转置） ，如果它的秩小于3，则取一特殊的解就可以了，没有说一定要与答案一模一样，毕竟求一方程组的通解的答案不唯一，只要符合就是正确的，然而这题的秩刚好是3，则特解就只有一个 ，
方程为齐次线性方程组的解为(0，0，0)'
也就是求
x1-x2+2x3=0
x2-3x3=0
x3=0
时候的解，解得为(0，0，0)'.
故该非齐次线性方程组的解为：(5，5，2)'