Question

高中数学不等式

Let be positive real numbers satisfying a^2+b^2+c^2+abc《4prove that a^2×b+b^2×c+c^2×a《a^2+b^2+C^2

Answer 1

Let a,b,c be positive real numbers satisfying a^2+b^2+c^2+abc<=4, prove that a^2*b+b^2*c+c^2*a<=a^2+b^2+c^2

证明：
显然，对于满足 a^2+b^2+c^2+abc<=4 的任何正数 a,b,c，均存在 x,y,z>0 及 0<t<=1 使得 a=tx, b=ty, c=tz 且 x^2+y^2+z^2+xyz=4。
此时不等式变为
t(x^2*y+y^2*z+z^2*x)<=x^2+y^2+z^2,
由 0<t<=1 可见只要证当 x,y,z>0 且 x^2+y^2+z^2+xyz=4 时
x^2*y+y^2*z+z^2*x<=x^2+y^2+z^2.
注意到三角恒等式 (cosA)^2+(cosB)^2+(cosC)^2+2cosAcosBcosC=1 可变形为
(2cosA)^2+(2cosB)^2+(2cosC)^2+(2cosA)(2cosB)(2cosC)=4,
可见只要证明在锐角三角形 ABC 中的如下不等式
2((cosA)^2*cosB+(cosB)^2*cosC+(cosC)^2*cosA)<=(cosA)^2+(cosB)^2+(cosC)^2.
而这正是当嵌入不等式
u^2+v^2+w^2>=2(uvcosA+vwcosB+wucosC)
取 u=cosA, v=cosB, w=cosC 时的不等式，所以原不等式成立。

Answer 2

so interesting is that l will try my best.

Answer 3

ok ,l will solve it

Answer 4

are you sure your questions are right?