关于圆的数学题
已知圆C：X^2+Y^2-2x+4y-4=0,是否存在斜率为1的直线L，使L被圆C截得的弦AB为直径的圆过原点，若存在，求出直线L的方程，若不存在说明理由。...
已知圆C：X^2+Y^2-2x+4y-4=0,是否存在斜率为1的直线L，使L被圆C截得的弦AB为直径的圆过原点，若存在，求出直线L的方程，若不存在说明理由。
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设A(x1，y1)，B(x2，y2)，L：y=x+b
∵以AB为直径的圆过原点，直径所对圆周角为90°
∴OA⊥OB
∴向量OA·向量OB=0
∴x1x2+y1y2=0
联立y=x+b，x²+y²-2x+4y-4=0，得
2x²+(2b+2)x+b²+4b-4=0
x1x2=(b²+4b-4)/2
y1y2=(x1+b)(x2+b)=x1x2+b(x1+x2)+b²=(b²+4b-4)/2 - (2b+2)b/2 + b²=(b²+2b-4)/2
∵x1x2+y1y2=0
∴(b²+4b-4)/2+(b²+2b-4)/2=0
∴b=-4或1
∴L：y=x-4或y=x+1
∵以AB为直径的圆过原点，直径所对圆周角为90°
∴OA⊥OB
∴向量OA·向量OB=0
∴x1x2+y1y2=0
联立y=x+b，x²+y²-2x+4y-4=0，得
2x²+(2b+2)x+b²+4b-4=0
x1x2=(b²+4b-4)/2
y1y2=(x1+b)(x2+b)=x1x2+b(x1+x2)+b²=(b²+4b-4)/2 - (2b+2)b/2 + b²=(b²+2b-4)/2
∵x1x2+y1y2=0
∴(b²+4b-4)/2+(b²+2b-4)/2=0
∴b=-4或1
∴L：y=x-4或y=x+1
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