Question

高中数学问题，关于数列的。请学的好的进一下。谢谢

已知函数f(x)=x-sin(x)，数列{an}满足0<a1<1，a(n+1)=f(an)，n=1,2,3…。证明(1)0<a(n+1)<an<1 (2)a(n+1)<(an^3)/6 如若解答，不胜感激。

Answer 1

我高一 错了别怪
a1∈（0,1） 首先需证明在x∈（0，1） x＞sinx
（可以求导证明 亦可在直角坐标系中画一单位圆，再画一锐角x，再做x与○交点A，○与x轴交于B，有S△AOB＜S扇形AOB，S△AOB=(1/2)sinx,S扇形AOB=(1/2)x即可证得）
∴1＞x＞0，1＞f（x）＞0，1＞f（f（x））＞0。。。。。
∴f（a1）=a2＞0 。。。。有an＞0 而f（x）＜x＜1 ，a（n+1）=f（an）=an-sin（an）＜an ∴ 0<a(n+1)<an<1
a（n+1）-an^3/6=an-sinan-an^3/6 可换元t g（t）=t-sint-t^3/6 t∈（0,1）下过程均考虑该定义域内
不知道你会不会 进行求导g'（t）=1-cost-t^2/2 对其再次求导得g''(t)=sint-t＜0
g'(t)递减 g'(t)max=g'(0)=0 取不到∴g'(t)＜0 g（t）单调递减 g（t）max=g（0）=0
依然取不到 故g（t）＜0 ∴a(n+1)<(an^3)/6
如果这是高一问题 对不起 我不会 我只会求导
楼上{an^3/3≥an?这个会不，基本不等式变形}纯盘是泡人 这么好的一道题让你亵渎了

追问

首先也感谢你。你的第二问解答非常好。不过第一问题目没有说定义域为(0,1)。∴1＞x＞0，1＞f（x）＞0，1＞f（f（x））＞0。。。。。∴f（a1）=a2＞0 。。。。有an＞0 而f（x）＜x＜1 ，a（n+1）=f（an）=an-sin（an）＜an ∴ 0<a(n+1)<an<1 所以这个推理不严密。只能说可以推得整个数列在(0,1)内取值。然后才有后面的。谢谢你。谢谢。

追答

有a1∈（0，1）的
∴a2∈（0,1）递推下来的
一点错误也没有a1∈（0，1） a2=a1-sina1＞0
a2=a1-sina1＜a1＜1
之后都这样
为了方便起见才用的x
有x∈（0，1） f（x）∈（0，1） f（f（x））∈（0，1）。。。。
令x=a1 就有了1＞an＞0

追问

楼上的思路是正确的，你可以重新看一下，他那里打错了。我改进了他的做法。

追答

实话实说 个人不以为然 这种叠加法只能将自己陷入困境
首先如何证明sina1+sina2+……sinan＜1 和a（n+1）＞0？
想用的话 必须得先有an＞0 ，没有an＞0全是白扯
第一问的第一步应该是an＞0
然后就是a（n+1）＜an＜1 就完事了 （楼上纯盘糊弄 跟他就错了)

追问

他的第一问的确有问题，没说明白。不过他第二问的思路很简单，比求导更简单。如果有a(n+1)<(an^3)/6，因为0 <an<1，所以(an^3)/6<an，所以有a(n+1)<an。而这显然成立。你看对吧。

追答

(an^3)/6<an a(n+1)<an 这两个能说明什么啊 B＜A C＜A 能说明什么啊！
也就是说(an^3)/6<an a(n+1)<an 的成立和所要论证的丝毫没有关系
你要领会出题人就是想让你求导
别问我了 再问该罚分了

Answer 2

第一个用累加法，
a(n+1)=f(an)
所以an-sin(an)=a(n+1)
所以有an-a(n+1)=sin(an)
累加得a1-a(n+1)=sina1+sina2+……sinan
移项得a1=a(n+1)+sina1+sina2+……sinan
因为 0<a1<1
所以a（n+1）<an<1
因为an-sin(an)=a(n+1)
sinan<an（这个应该知道）
所以0<a(n+1)
所以0<a(n+1)<an<1

追问

首先非常感谢你。但我有疑问：由这个a1=a(n+1)+sina1+sina2+……sinan因为 0<a1<1到这个a（n+1）<an<1恐怕不严密。还有sinan<an成立是有条件，是第一象限角才成立。还有第二问呢？

追答

a(n+1)=an-sinan恒成立，02an-2sinan
移项得an-2sinan<0
反推即可！
0<sinan<1
0 <an<1,
这两个条件很重要！你要推！

追问

不是很清楚

Answer 3

1.函数f(x)=x-sin(x)，在单位园中，x看成圆心角对应的圆弧，由于数列{an}满足0<a1<1，则a1＞sin(a1)，f(a1)=a1-sin(a1)＞0，a(n+1)=f(an)，a2=f(a1)=a1-sin(a1)＞0，sin(a1)=a1-a2,，sin(a1))=a1-a2＞0，a1＞a2，0<a2<a1<1 ；a(n+1)=an-sinan＞0，sinan=an-a(n+1)＞0，则0<a(n+1)<an<1 。

追问

这位仁兄，感谢你的回答。楼上两位的思路非常清晰了，谢谢你参与。也谢谢你的好意。谢谢。我现在懂了。