Question

高中物理竞赛题！！！！！急！！！

小朋友明明做了一个梦，梦见孙悟空在地球上戳了一个洞，直通地球的另一方的美国。他想到苹果熟了会从树上掉下来，他就把一个大苹果放入洞中，苹果在洞里飞快的下落，不一会儿美国小朋友在洞的那一头拿到了明明送给他们的大苹果。如果真有这样的地下隧道,明明的梦想能否成真？[答案是能，且周期是T=2π√（R/g),且要用圆锥切面。为什么？]
过程详细点！谢谢啦！O(∩_∩)O~

Answer 1

首先作为做竞赛题的人，应该有简谐运动的基本知识
第二，球壳内部，任意一点所受万有引力为零（应该会证明吧，微元法~）
好，现在当小球在地球内部任意一点时，以苹果到地心距离为半径r画球，这个小球外部的地球部分，对内部的苹果万有引力为零
然后，苹果所受力，在垂直于洞的方向上合力为零（由于对称），方向指向地心，大小为(Gm/r2)*[(r3/R3)*M]=(GMm/R3)*r，是一个线性力，做简谐运动，周期带入周期公式即可
有问题再问吧~

追问

如何证明“这个小球外部的地球部分，对内部的苹果万有引力为零”呢？

追答

基本思想是微元法
首先对球壳而言，在球壳内部取任意一点o，质量为m，球壳质量的面密度问p，对这个点取一对球壳上的微元a和b，面积分别为s1和s2，如图所示
微元a对o的万有引力为：Gm*(p*s1)/（r1*r1），
微元b对o的万有引力为：Gm*(p*s2)/（r2*r2），
我们是取的微元，所以从这个横切面来看，这两个三角形是等腰的三角形，而且相似，弧a的长度：弧b的长度=r1：r2；同样，面积微元a的面积：面积微元b的面积=弧a的平方：弧b的平方
带入万有引力公式，发现两个力大小相等，方向相反，合力为零
而整个球壳有无数对这样的微元组成，所以整个球壳对内部任意一点引力为零
而小球外部的地球可以看作无数个球壳组成，所以引力为零
不知道是否清楚（叙述上可能比较啰嗦，将就看吧~）

Answer 2

我还不能发图，解释一下思路好了
因为中国和美国都在北半球
所以这的洞也在北半球
没有穿过地心
另外
这道题应该没有考虑空气阻力
考虑了这两点就很好做了
希望有帮助

Answer 3

不是圆锥切面，是简谐运动吧！说实话其实你的题得背景挺有趣的。还有你求证的R是地球半径吧，地球是被视为均匀球体吧？
解：设苹果穿过这样的一个隧道嘛。
该苹果现在在隧道的P点（任意点）
∵在地球内部的万有引力是以 物体到地心的距离为球面的一种受力（∵剩余部分的万有引力全部抵消了）
∴设P到地心距离为r 得 其在该点的万有引力F=GM‘m/r² （M'是相对的以r为半径的球体质量）
M‘=ρV‘=4/3πr³ρ
得F=4/3πrρmG
又因为在地球表面 的话，其万有引力F=mg
F=4/3πRρmG=mg 代入化简
∴可以求得 F=r/R×mg=mg/R ×r
若这个轨道就是赤道的话∴ F=mg/R ×r
若不是赤道则只需将该量分解在轨道方向上，不成影响
当其第一次运动过轨道的一般时 F=-mg/R ×r（力与刚才反向嘛）
∵F=-mg/R ×r 满足 F=-Kx 则F是线性变化力 所以其做简谐运动
周期T=2π× √（m/k),=2π× √（R/g),