Question

已知函数f(x)=lnx+2x，g(x)=a(x^2+x)，若f(x)≤g(x)恒成立，则实数a的取值范围?

答案是[1，+∞)，要过程，谢谢大家！

Answer 1

lnx＋2x≤a(x²＋x)恒成立，由于x>0，即：a≥[lnx＋2x]/(x²＋x)，即只要确定[lnx＋2x]/(x²＋x)的最大值即可。
设h(x)=[lnx＋2x]/(x²＋x) h'(x)=[(x²＋x)(2＋1/x)－(2x＋1)(lnx＋2x)]/(x²＋x)²
=[(x＋1)(2x＋1)－(2x＋1)(lnx＋2x))]/(x²＋x)²
=[(2x＋1)(1－x－lnx)]/(x²＋x)
当0<x<1时，h'(x)>0即h(x)递增，当x>1时，h'(x)<0即h(x)递减，则h(x)的最大值是h(1)=1，从而a≥1