Question

已知函数f(x)=x^3+mx^2+nx,与图像与x轴相切于非原点的某一点，y极小值=4,求m、n之值

Answer 1

f(x)=x(x^2+mx+n)与x轴切于非原点的某点，说明方程x^2+mx+n=0有两个相等的实数根，有：
Δ=m^2-4n=0，n=m^2/4。于是：
对函数求导：f'(x)=3x^2+2mx+n=3x^2+2mx+m^2/4。设函数的极小值点为(t,4)，有3t^2+2mt+m^2/4=0，t^3+mt^2+(m^2/4)t=4
理论上可以解出上述两式，得到t和m的值，进而可知n的值。由于计算较为复杂，这里不算，提供这个方法和思路，希望有用。