Question

已知f(x)=x^2-2(a+1)x+a^2+1,x属于R

已知f(x)=x^2-2(a+1)x+a^2+1,x属于R (1)若a=2,解不等式f(x)<0（2）若a属于R，解关于x的不等式f（x）<0.(3)若x属于[0,2]时，f（x）≥a^2(1-x)恒成立。求实数a的取值范围。

Answer 1

解：
(1)
a=2代入f(x)
f(x)=x²-6x+5
x²-6x+5<0
(x-1)(x-5)<0
1<x<5
(2)
对于方程x²-2(a+1)x+a²+1=0
判别式[-2(a+1)]²-4(a²+1)=8a
a<0时，判别式<0 对于函数y=x²-2(a+1)x+a²+1，图像始终在x轴上方，不等式无解。
a=0时，判别式=0 方程变为x²-2x+1=0 (x-1)²=0 x=1
a>0时，方程x²-2(a+1)x+a²+1=0的解为x=[4(a+1)±2√(2a)]/2=2a±√(2a)+2
不等式的解为2a-√(2a)+2<x<2a+√(2a)+2
(3)
x²-2(a+1)x+a²+1≥a²(1-x)
整理，得
x²+(a²-2a-2)x+1≥0
对于函数g(x)=x²+(a²-2a-2)x+1
对称轴x=-(a²-2a-2)/2=-[(a-1)²-3]/2≤3/2
[1]
对称轴x=-(a²-2a-2)/2<0时，函数在[0，2]上单调递增，要不等式成立，只要g(0)≥0
x=0代入1≥0，无论x在定义域上取何实数值，不等式始终成立。
此时a²-2a-2>0 (a-1)²>3 a>1+√3或a<1-√3
[2]
对称轴x=-(a²-2a-2)/2∈[0，3/2]时，顶点横坐标在定义域上，要不等式成立，只要g[-(a²-2a-2)/2]≥0
[-(a²-2a-2)/2]²-(a²-2a-2)²/2+1≥0
整理，得
(a²-2a-2)²≤4
-2≤a²-2a-2≤2
a²-2a-4≤0 1-√5≤a≤1+√5
a²-2a-2≥-2 a(a-2)≥0 a≥2或a≤0
此时a²-2a-2≤0
1-√3≤a≤1+√3
取三个不等式解的交集，得2≤a≤1+√3或1-√3≤a≤0
综上，得
a≥2或a≤0

Answer 2

5