Question

已知函数f（x）是定义在（0，∞）上的增函数，且f（xy）=f（x）+f（y），f（3）=1

（1），求f（1）的值
（2），当f（x）+f（x-8）小于等于2时，求x的取值范围

Answer 1

f(xy)=f(x)+f(y)
令x=y=1,则xy=1
所以f(1)=f(1)+f(1)
所以f(1)=0

(xy)=f(x)+f(y)
所以f(x)+f(x-8)=f[x(x-8)]=f(x^2-8x)
令x=y=3,则xy=9,
所以f(9)=f(3)+f(3)=1+1=2
f(x)+f(x-8)<=2,
所以f(x^2-8x )<=f(9)

因为f（x）是定义在（0，∞）上的增函数，
所以x>0,x-8>0,
x^2-8x <=9,
解得8<x<=9.

Answer 2

已知函数f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，且f（xy）=f（x）+f（y），f（3）=1
(1).求f（1）的值
(2).当f（x）+f（x-8）小于等于2时，求x的取值范围
解：(1) f(1)=f(1×1)=f(1)+f(1)=2f(1)，故2f(1)-f(1)=f(1)=0
(2) f(x)+f(x-8)=f(x²-8x)≦2=2f(3)=f(3)+f(3)=f(3×3)=f(9)
f(x)是定义在(0，+∞）上的增函数，
∴ x²-8x≦9，x²-8x-9=(x-9)(x+1)≦0，故-1≦x≦9.，考虑到f(x)的定义域，故应取0<x≦9.

Answer 3

已知函数f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，且f（xy）=f（x）+f（y），f（3）=1
(1).求f（1）的值
(2).当f（x）+f（x-8）小于等于2时，求x的取值范围
解：(1) f(1)=f(1×1)=f(1)+f(1)=2f(1)，故2f(1)-f(1)=f(1)=0
(2) f(x)+f(x-8)=f(x²-8x)≦2=2f(3)=f(3)+f(3)=f(3×3)=f(9)
f(x)是定义在(0，+∞）上的增函数，
∴ x²-8x≦9，x²-8x-9=(x-9)(x+1)≦0，故-1≦x≦9.，考虑到f(x)的定义域，故应取0<x≦9.