Question

设f（x）的定义域为（0，∞），对任意的正数x，y都有f（xy）=f（x）+f（y），且当x大于1时，f（x）

设f（x）的定义域为（0，∞），对任意的正数x，y都有f（xy）=f（x）+f（y），且当x大于1时，f（x）大于0，试判断f（x）的单调性

Answer 1

因为f（xy）=f（x）+f（y），所以f（1*1）=2f（1）,得f（1）=0
设0<X1<X2，则f（X2）=f（X1*X2/X1）=f（X1）+f（X2/X1）
因为 “当x大于1时，f（x）大于0”，且X2/X1>1
所以f（X2/X1）>0,即f（X1）<f（X2）
又因为X1<X2，
所以f(x)在(0，+∞)上单调递增

Answer 2

解：
令x=y=1
f(xy)=f(1)=f(1)+f(1) f(1)=0
令y=1/x
f(xy)=f(1)=f(x)+f(1/x)=0
x>1时，f(x)>0
此时，0<1/x<1 f(1/x)<0
令y=1+△y (△y>0，且无限接近于0）
f(xy)=f(x)+f(1+△y)
xy=x(1+△y)=x+x△y>x
f(1+△y)>0
f(xy)>f(x)
函数在(1，+∞)上单调递增。
f(1/x)=-f(x)
随x递增，-f(x)递减，1/x递减，即f(1/x)单调递增。
综上，得f(x)在(0，+∞)上单调递增。

Answer 3

f（x）的单调上升。