Question

在数列{an}中，a(n+1)=(2an+8)/an，a1=2，求通项

Answer 1

【解】
a(n+1)=(2an+8)/an，
a(n+1)=2+8/an
令an=x,a(n+1)=x
x=2+8/x
x^2-2x-8=0
x1=-2,x2=4
{(an-4)/(an+2)}为等比数列
令(an-4)/(an+2)=bn
b(n+1)/bn=[(a(n+1)-4)/(a(n+1)+2)]/[(an-4)/(an+2)]
=-1/2
b(n+1)=(-1/2)bn
b1=-1/2
bn=(-1/2)^n=(an-4)/(an+2)
an=[4+2*(-1/2)^n]/[1-(-1/2)^n],n>=1

【说明】
当f(x)=x时，x的取值称为不动点，不动点是我们在竞赛中解决递推式的基本方法。
典型例子： a(n+1)=(a(an)+b)/(c(an)+d)
简单地说就是在递推中令an=x 代入
a(n+1)也等于x
然后构造数列.（但要注意，不动点法不是万能的，有的递推式没有不动点，但可以用其他的构造法求出通项；有的就不能求出）
令x=(ax+b)/(cx+d)
即 cx2+(d-a)x-b=0
令此方程的两个根为x1，x2，
若x1=x2
则有1/(a(n+1)-x1)=1/(an-x1)+p
其中P可以用待定系数法求解，然后再利用等差数列通项公式求解。

若x1≠x2则有(a(n+1)-x1)/(a(n+1)-x2)=q((an-x1)/(an-x2)
其中q可以用待定系数法求解，然后再利用等比数列通项公式求解。

【注】
形如：a(n+1)=(Aan+B)/(Can+D)，A,C不为0的分式递推式都可用不动点法求。让a(n+1)=an=x，代入化为关于x的二次方程
(1)若两根x1不等于x2，有{(an-x1)/(an-x2)}为等比数列，公比由两项商求出
(2)若两根x1等于x2，有{1/(an-x1)}为等差数列，公差由两项差求出
若无解，就只有再找其他方法了。
并且不动点一般只用于分式型上下都是一次的情况，如果有二次可能就不行了。

对于原理，要大学才学，是建立在对方程的研究之上的。

Answer 2

a(n+1)+2=[2a(n)+8]/a(n)+2 = 4[a(n)+2]/a(n),
若a(n+1)=-2, 则a(n)=-2, ..., a(1)=-2,与a(1)=2矛盾.
因此,a(n)不等于-2.
1/[a(n+1)+2] = (1/4)a(n)/[a(n)+2] = (1/4) [a(n)+2 - 2]/[a(n)+2] = (-1/2)/[a(n)+2] + 1/4,
b(n)=1/[a(n)+2],
b(n+1)=-(1/2)b(n)+1/4
b(n+1)+x = (-1/2)b(n) + 1/4+x = (-1/2)[b(n) +(-2x-1/2)],
x=-2x-1/2, x=-1/6
b(n+1)-1/6 = (-1/2)b(n) + 1/4 - 1/6 = (-1/2)b(n) + 1/12 = (-1/2)[b(n) - 1/6]
{b(n)-1/6}是首项为b(1)-1/6=1/[a(1)+2] -1/6=1/3-1/6=1/6,公比为(-1/2)的等比数列.
b(n)-1/6=(1/6)(-1/2)^(n-1),
1/[a(n)+2] = b(n) = 1/6 + (1/6)(-1/2)^(n-1) = [2^(n-1)+(-1)^(n-1)]/[6*2^(n-1)]
a(n)+2 = 6*2^(n-1)/[2^(n-1)+(-1)^(n-1)]
a(n) = 6*2^(n-1)/[2^(n-1) +(-1)^(n-1)] - 2