Question

设数列｛an｝的前n项和为Sn，且a1=a，a^n+1=Sn+3^n

（1）设bn=Sn-3^n，求｛bn｝通项公式（2）若a^n+1≥an，求a范围

Answer 1

a(n+1)=s(n)+3^n=s(n+1)-s(n),
s(n+1)=2s(n)+3^n,
s(n+1)/3^n = 2s(n)/3^n + 1 = (2/3)s(n)/3^(n-1) + 1,
c(n)=s(n)/3^(n-1),
c(n+1)=(2/3)c(n)+1,
c(n+1)+x =(2/3)c(n)+1+x = (2/3)[c(n)+3(1+x)/2],
x=3(1+x)/2, x=-3.
c(n+1) - 3 = (2/3)c(n) -2 = (2/3)[c(n) - 3]
{c(n)-3}是首项为c(1)-3=s(1)-3=a(1)-3=a-3,公比为(2/3)的等比数列.
c(n)-3=(a-3)(2/3)^(n-1)
s(n)/3^(n-1)=c(n)= 3 + (a-3)(2/3)^(n-1)
s(n)= 3^n + (a-3)2^(n-1),
a(n+1)=s(n)+3^n = 2*3^n + (a-3)2^(n-1),
a(1)=a,
a(n)=2*3^(n-1) + (a-3)2^(n-2), n=2,3,...
b(n)=s(n)-3^n = (a-3)2^(n-1).
0<=a(2)-a(1)=2*3+(a-3)-a = 6.
n>=2时,
0<=a(n+1)-a(n)=2*3^n + (a-3)2^(n-1) - 2*3^(n-1) - (a-3)2^(n-2) = 4*3^(n-1) - (a-3)2^(n-2)
0<=12(3/2)^(n-2) - (a-3),
a <= 12(3/2)^(n-2) + 3,
a <= 12 + 3 = 15.

Answer 2

1)
因为 a^n + 1 = Sn + 3^n
所以 Sn = a^n - 3^n + 1
则 bn = a^n - 2*3^n + 1
2)
an = Sn - S(n-1) = (an - 3^n + 1) - (a(n-1) - 3^(n-1) + 1)
= a^n - a^(n-1) - 3^n + 3^(n-1)
又根据要求a^n+1≥an
则1 ≥ -a^(n-1) - 3^n + 3^(n-1)
a^(n-1) ≥ -3^n + 3^(n-1) - 1
然后再两边开n-1次方即可，表示比较麻烦
a ≥ (-3^n + 3^(n-1) - 1)的n-1次方根

追问

可是a^n还是不知道啊，第二问要用的

追答

根据我的理解，第一问中a作已知的定常数处理，而在第二问中求的是a的取值范围
从结果上看，第二问中a是左式，是待估的，所以没有第二问要用的说法

好吧我错了，lx的是我没想到的