Question

已知方程x的平方-(m+1)x+4=0的两个根都落在【0,3】,求实数m的取值范围

Answer 1

设y=x²-(m+1)x+4，它和x轴的交点横坐标就是方程的根。画出符合条件的图像，过点（3，0）画x轴的垂线与图像相交。仔细观察可得应满足的条件：△>0,f(0)>0,f(3)>0,0<顶点横坐标<3
∴ （m＋1)²－16＞0 ①
0²-(m+1)×0+4>0 ②
3²-(m+1)*3+4>0 ③
0<(m+1)/2<3 ④
解①得 m>3 或m<-5
解②得m∈R
解③ 得 m<10/3
解④ 得－1<m<5
∴m的取值范围是3<m<10/3

Answer 2

解：x^2 - (m+1)x + 4=0 有两个根
则Δ=(m+1)^2 - 4*4>0
即(m+1)^2>16
得m>3 或 m<-5
又设方程的两根为x1和x2，
x1=[(m+1)+[(m+1)^2-16]^1/2]/2
x2=[(m+1)-[(m+1)^2-16]^1/2]/2
又由0<=x1<=3,0<=x2<=3
得 m+1>0 即 m>-1
则可知 m>3
又有x1>x2,x1<=3 得
(m+1)+[(m+1)^2-16]^1/2 <= 6
[(m+1)^2-16]^1/2 <= 5-m
(m+1)^2-16 <= (5-m)^2
m^2 + 2m + 1 - 16 <= m^2 -10m + 25
12m <= 40
m<=10/3
综合所得 m的取值范围为(3,10/3],即3< m <= 10/3.