Question

求解几道高一数学题！急！

1、已知函数f（n）=a|ⁿ|（就是a的n次方，但是n有个绝对值符号）的图像过A（1，3），解不等式：f（㏒½X)＜-2f(--㏒⅓X)+3¹＋㏒⅓(3-X)。（3¹＋㏒⅓(3-X)。这里面中是三是底，1+㏒（3-x）是指数）。
2、若函数f(x)=（x-1）㏒₄2k-6x㏒₄k+x+1在区间[0,1]上恒为正值，求k的取值范围。
3、设0＜a＜1，x、y满足 ㏒aX+3㏒xa-㏒xy=3。如果y有最大值，求a的之值。（其中㏒ax是以a为底，x为真数的对数。㏒xa是以x为底，a为真数的对数。㏒xy是以x为底，y为真数的对数。）

Answer 1

1、把A（1，3）代入f(n)可得：a=3，f(n)=3^|n|。原不等式化为：
3^|log1/3 X|<-2*3^|log3 X|+3^[1+log1/3 (3-X)]，即：3^|log3 X|+2*3^|log3 X|<3^[1-log3 (3-X)]
也即：3^(1+|log3 X|)<3^[1-log3 (3-X)]，1+|log3 X|<1-log3 (3-X)，|log3 X|+log3 (3-X)<0，
式子有意义满足：X>0,3-X>0，即0<X<3
当0<X<1时，log3 X<0，有：-log3 X+log3 (3-X)<0，解得：X>3/2，与题设矛盾，舍去。
当1<=X<3时，log3 X>=0，有：log3 X+log3 (3-X)<0，解得：X>(3+√5)/2或X<(3-√5)/2，结合题设得：(3+√5)/2<X<3。即为原不等式的解集。
2、依题意：log4 (2k-6x) log4 (k+x+1)<0在[0,1]上恒成立，分两种情况：
(1). log4 (2k-6x)<0,log4 (k+x+1)>0，即2k-6x<1，k+x+1>1,即k<3x+1/2且k>-x，上述两式对0<=x<=1区间恒成立，可知：0<k<1/2;
(2). log4 (2k-6x)>0,log4 (k+x+1)<0，则：k>3x+1/2且k<-x，易知此式无法满足题设。
综上：0<k<1/2.

追问

只有1题答案？

追答

3、令t=loga x，则logx a=1/t，log x y=loga y / loga x=loga y /t，原等式化为：
t+3/t-loga y /t =3。依题意，t≠0，否则式子无意义。于是，方程进一步可化为：
loga y=t^2-3x+3，也即：y=a^(t^2-3x+3)。
由于0<a<1，y=a^k（k=t^2-3t+3）是一个关于k的减函数。y有最大值，说明k=t^2-3t+3=(t-3/2)^2+3/4有最小值3/4，t=loga x取得到3/2。不过貌似还是没能最终把a求出哦，是不是少了什么条件。如果给出y的最大值数值，就可以了。x=a^(3/2)时，y取得最大值a^(3/4).

追问

有几处不懂：
1题，原不等式是怎么化到3^|log3 X|+2*3^|log3 X|<3^[1-log3 (3-X)]的？
2题，log4 (2k-6x) log4 (k+x+1)<0是怎么判断的？

追答

1. 是根据已知的f(n)=3^|n|和对数性质：log1/3 X=-log3 X=log3 1/X。
2. 因为0<=x<=1，所以x-1<=0了对吧。那么剩下的乘积就都小于0了。这个题有个小小的问题，x=1时，f(x)=0，就不是正值了。所以把闭区间[0,1]改成半开半闭的[0,1)好点。

追问

二题的区间[0,1]不是f（x）的吗？那应该值域的范围吧，也就是0≤（x-1）㏒₄2k-6x㏒₄k+x+1≤1。x也能用？

追答

不是，从题目表达的意思看，区间[0,1]指的是定义域，不是值域。意思就是：当x的值位于区间[0,1]时，函数f(x)的值恒为正值。