Question

已知:在[-2,2]上有函数f(x)=2x^3+6x^2,(1)求证函数f(x）的图像经过原点，

并求出f（x）在原点以及在（1，1）点的导数值。（2）求函数在区间[-2，2]的单调区间以及最大值最小值？

Answer 1

（1）f(0)=0 经过原点。
（2）f'(x)=6x²+12x
f'(0)=0 f'(1)=18
(3)f'(x)=6x(x+2)
令f'(x)=0 x=0/-2
f'(x)>0 x<-2/ x>0
f'(x)<0 -2<x<0
f(x)在（-∞，-2）（0，+∞）单调递增
（-2，0）单调递减
∴ f(x)在[-2,0)单调递减
（0,2]单调递增
f(-2)=8 f(0)=0 f(2)=40
f(x)max=40 f(x)min=0

Answer 2

(1)
f(0)=0, 所以：函数f(x）的图像经过原点
f'(x)=6x^2+12x
在原点的导数值为f'(0)=0
f(x)不过(1,1)点，所以在这点没导数

(2)
f'(x)=6x^2+12x=6x(x+2)
当x=-2, f'(x)=0
当-2<x<0, f'(x)<0
当x=0, f'(x)=0
当0<x<=2, f'(x)>0
所以，在区间(-2,0)单调递减；在区间(0,2]单调递增；
而：f(-2)=8, f(0)=0, f(2)=40
所以：最大值40, 最小值0