Question

设x,y满足x^2+(y-1)^2=1 求：y+2/x+1的最值(最大值和最小值)

Answer 1

x^2+(y-1)^2=1表示以点（0，-1）为圆心，1为半径的圆，y+2/x+1表示圆上的点与点（-1，-2）连线的斜率，设过点（-1，-2）的直线的斜率为k，则直线方程为y+2=k(x+1),即kx-y+k-2=0,
又d≤1，得|0*k-(-1)+k-2|/√(k^2+1)≤1,于是k≥0 ，k的最小值为0.k没有最大值

追问

为什么d≤1
并且直线kx-y+k-2=0与圆的切点坐标是哪两个？

追答

点（x,y）是圆上的点，直线与圆相交或相切，所以圆心到直线的距离小于或等于半径，你画出图形就更加清楚了

追问

诶，圆心是不是错了是（0,1）,所以最小值应该是多少

追答

x^2+(y-1)^2=1表示以点（0，1）为圆心，1为半径的圆，y+2/x+1表示圆上的点与点（-1，-2）连线的斜率，设过点（-1，-2）的直线的斜率为k，则直线方程为y+2=k(x+1),即kx-y+k-2=0,
又d≤1，得|0*k-1+k-2|/√(k^2+1)≤1,于是k≥4/3 ，k的最小值为4/3.k没有最大值 ,很遗憾，太粗心了

Answer 2

设过P（-1，-2）点与圆相切与M（X0，Y0）
过M点圆的切线方程为X0X+（Y0-1）（Y-1）=1
因为P（-1，-2）在过M点圆的切线方程上，所以 X0+Y0=1/2，x0^2+(y0-1)^2=1
解得，X0=（-1-根号7）/4，Y0=（3+根号7）/4或者X0=（-1+根号7）/4，Y0=（3-根号7）/4
直线PM的斜率为：K1=（25+根号7）/24，K2==（25-根号7）/24
y+2/x+1的最大值=（25+根号7）/24
y+2/x+1的最小值=（25-根号7）/24