Question

如图,已知△ABC的两个外角平分线BP与CP交于P点,连AP.求证:AP平分∠BAC

Answer 1

方法一：
∵P是△ABC的∠B、∠C的外角平分线交点，
∴P是△ABC的一个旁切圆圆心，且该圆与BC相切，
∴AP平分∠BAC。
［三角形的旁切圆圆心是该三角形的一个内角平分线与另两个角的外角平分线的交点］

方法二：如果对三角形的旁切圆不熟悉，可这样处理。
过P作PD⊥AB交AB的延长线于D，作PE⊥BC交BC于E，作PF⊥AC交AC的延长线于F。
∵P在∠CBD的平分线上，∴PD＝PE。
∵P在∠BCF的平分线上，∴PF＝PE。
由PD＝PE、PF＝PE，得：PD＝PF，∴P在∠DAF的平分线上，即：AP平分∠BAC。