Question

P为矩形ABCD所在平面外的一点，PA⊥平面ABCD，E,F分别是AB,PD的中点，又二面角P-CD-B为45°

求证：平面PEC⊥平面PCD

Answer 1

取PC中点M，连结ME、MF
∵M、F是PC、PD中点，∴MF平行且等于1/2CD
又∵矩形ABCD中，E是AB中点，∴AE平行且等于1/2CD
∴AE平行且等于MF，∴AEMF是平行四边形，AF∥ME
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD；又∵AD⊥CD，∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥PD，∴∠PDA即为二面角P-CD-B的平面角，∠PDA=45°
又由PA⊥ABCD知PA⊥AD，因此△PAD是等腰直角三角形，∴AF⊥PD；又已证AF∥ME，∴ME⊥PD
∵CD⊥平面PAD，AB∥CD，∴AB⊥平面PAD，∴AE⊥AF；又∵AF∥ME，AE∥MF，∴ME⊥MF
∵PD、MF⊂平面PCD，ME⊂平面PEC，∴平面PEC⊥平面PCD

Answer 2

可以证明AEGF是矩形:
因为PA垂直于ABCD
所以平面ADP,ABP垂直于ABCD
。。。。。。。
二面角D-AP-B是直二面角
所以平面APD垂直于平面ABP
AF垂直于AE
AEGF是矩形,GE垂直于GF①
因为二面角P-CD-B等于45度，所以在三角形ADF中，角ADF=45度，所以PD垂直于AF
PD垂直于GE②
联立①②GE垂直于平面PCD
所以平面PEC⊥平面PCD

Answer 3

很难哦哦哦哦