Question

已知f(x)=in(1+x)-in(1-x),则函数g(x)=f(x/2)+f(1/x)的定义域

Answer 1

f(x)=ln(1+x)-ln(1-x),ln(1+x)与ln(1-x)均有意义，所以对于ln(1+x)，x需要大于-1，对于ln(1-x)，x需要小于1，二者同时成立取交集，所以f（x）的定义域为x大于-1且小于1，此为1式
f（x）=ln(1+x)-ln(1-x)=ln[(1+x)/(1-x)],带入g（x），
得g(x)=f(x/2)+f(1/x)=ln[(1+x/2)/(1-x/2)]+ln[(1+1/x)/(1-1/x)]=ln[(2+x)/(2-x)]+ln[(x+1)/(x-1)]，
ln[(2+x)/(2-x)]与ln[(x+1)/(x-1)]均有意义，所以ln[(2+x)/(2-x)]的定义域为（-2，0）U（0，2）,此为2式，这里不取0因为x=0的话f(1/x)无意义，
对于ln[(x+1)/(x-1)]，其定义域为（-∞，-1）U（1，+∞），此为3式
1、2、3三式取交集，得g（x）的取值范围为（-2，-1）U（1,2)

Answer 2

g(x)=ln(1+x/2)-ln(1-x/2)+ln(1+1/x)-ln(1-1/x)
1+x/2>0, x>-2
1-x/2>0, x<2
1+1/x>0. x>0 or x<-1
1-1/x>0, x>1 or x<0
综合得g(x)定义域 ： 1<x<2, or -2<x<-1