Question

设函数f(x)=x(x-1)^2,x>0，设0＜a≤1，记f（x）在(0,a]上的最大值为F(a)，求函数G(a)=a分之F（a）的最小值

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Answer 1

f(x)=x^3-2*x^2+x,求导后f'(x)=3*x^2-4*x+1=(3x-1)(x-1),即f'(x)在（0,1/3）上大于零,(1/3,1)上小于零,所以f(x)在（0,1/3）上递增,(1/3,1)上递减
当a>=1/3时，F(a)=f(1/3)=4/27 从而G(a)=4/(27a)
当1/3>a>0时，F(a)=f(a)=a(a-1)^2 从而G(a)=(a-1)^2