Question

判断正项级数敛散性的题目，大家帮忙看看

截图划线打三角的部分，我不明白的是为什么定积分的上下限要取n和n-1，如果上下限取的是n+1和n，前面还是这个式子，但是小于就要换成大于了，这样一来级数的部分和不是没有上界了吗?是不是我有什么地方没考虑周到？大家帮忙看看，谢谢啦~~还有就是后面的n>=3这个范围是怎么确定的？

Answer 1

用积分中值定理
∫[(n-1)->n] dx/x(lnx)^p = [n-(n-1)] 1/[ξ(lnξ)^p] =1/[ξ(lnξ)^p], 其中ξ∈[n-1,n],
而f(x)=1/x(lnx)^p 当p>1时是个单调减函数,所以f(n-1)>f(ξ)>f(n)
所以有了上面的结论： 1/[n(lnn)^p]=f(n)<f(ξ)=∫[(n-1)->n] dx/x(lnx)^p
如果积分区间是[n,n+1],那么有
∫[n->n+1] dx/x(lnx)^pdx= [(n+1)-n] 1/[ξ(lnξ)^p] =1/[ξ(lnξ)^p], 其中ξ∈[n,n+1],
同理得f(n)>f(ξ)>f(n+1),这时f(n)>f(ξ)
其实只需要画个图就很容易明白了。

n>=3是因为它在计算过程中出现了1/ln(n-1)这样的式子，如果n能取到2的话，就会出现分母为0的情况

追问

谢谢你，写得好详细啊~~只是我还有一个问题不是很清楚，如果积分区间是[n,n+1]，那么1/[n(lnn)^p]>∫[n->n+1] dx/x(lnx)^pdx=[1/ln^(p-1)(n-1)-1/ln^(p-1)n]/p-1,这样一来这个级数的部分和相加不是没有上界了吗

追答

为什么没有上界呢1/[n(lnn)^p]的值介于∫[(n-1)->n] dx/x(lnx)^p和∫[n->n+1] dx/x(lnx)^pdx之间