Question

高中数学：已知数列{an}满足a下标（n＋1）＝（1＋an）／（3－an），且a1＝0。（1）求a2，a3；（2）若存...

高中数学：已知数列{an}满足a下标（n＋1）＝（1＋an）／（3－an），且a1＝0。（1）求a2，a3；（2）若存在一个常数￡，使得数列{1／（an－￡）}为等差数列，求￡；（3）求数列{an}通项公式过程求详细!

Answer 1

解：（1）由a（n+1）＝(1+an)/(3-an)，且a1＝0，故a2=1/3，a3=2/4=1/2
(2) 若存在一个常数￡，使得数列{1／（an－￡）}为等差数列，
则1/［a（n+1）－￡］－1/［an-￡］为常数
故1/［a（n+1）－￡］－1/［an-￡］=1/［(1+an)/(3-an)－￡］－1/［an-￡］
=(3－an)/(1+an－3￡+￡an)－1/［an－￡］
＝(3－an)／［(1+￡)an＋（1－3￡）］－1/［an－￡］
＝［3an－(an)^2－3￡+￡an－(1+￡)an－（1－3￡）］
/[(1+￡)an^2+(－￡－￡^2+1－3￡)an－￡(1－3￡)]
=[－(an)^2+2an－1]/[(1+￡)an^2+(－￡^2－4￡+1)an+(3￡^2－￡)]
若1/［a（n+1）－￡］－1/［an-￡］为常数，
故(1+￡)／（－1）＝(－￡^2－4￡+1)／2＝（3￡^2－￡)／（－1）
由(1+￡)／（－1）＝（3￡^2－￡)／（－1），得￡＝1或￡＝－1/3
当￡＝1，(1+￡)／（－1）＝(－￡^2－4￡+1)／2＝－1/2
但￡＝－1/3，不符合(1+￡)／（－1）＝(－￡^2－4￡+1)／2，
故￡＝1
（3）由（2）得，1/［a（n+1）－1］－1/［an－1］=－1/2
故数列{1/［an－1］}是首项为1/（a1－1）=－1，公差为－1/2的等差数列
故1/［an－1］=－1+（n－1）*(－1/2)= －(n+1)/2
故an－1=－2/(n+1)，故an=（n－1）/(n+1)
故数列通项公式为an=（n－1）/(n+1)

Answer 2

用an来表示a n+1,那么用这个数列的n+1项减n项得(3-an)/(1+an-3u)-1/(an-u)
通分(自己算)得-(an-1)二次/(an-u)((u+1)an+1-3u),很明显当u=1时,这个后项和前项的差就成了常数(含n的式子上下消了)字数限制不懂追问

Answer 3

(1):a2=(1+0)/(3-0)=1/3;a3=(1+1/3)/(3-1/3)=1/2;
(2):假设等差数列为bn,则，b1=1/(a1-￡),b2=1/(a2-￡),b3=1/(a3-￡),由等差数列的性质，b2-b1=b3-b2,可以算出￡；（这个自己算吧，我就懒得算了）

Answer 4

1. a1=0,由已知式子推算出a2=1/3,a3=1/2
2. 有常数k（为打字方便代替下）使上式成立，则有1/(a1-k)+1/(a3-k)=2*1/(a2-k),将a1.a2.a3带入可解方程得出常数k值
3. 根据所求出的数据带入公式变化即可得出通项公式

Answer 5

此题用不动点法很容易。1 令等式左右相等，得￡=1 2已得.{1／（an－1）}为等差数列，则.{1／（an－1）}=（-1）+（n-1)×（—0.5），所以{an}=（n-1）÷(n+1) 3那第一问迎刃而解了a2=1 ／3,a3=0.5可追问