Question

已知数列{an}中，已知a1=-1去a（n+1）=2an+3（n∈N*）.问题见补充.

（1）。求证：数列{a（n+1）-an}是等比数列
（2）.求数列{an}的通项公式
（3）.设Cn=an-2*n（n∈N*），求和Sn=c1的绝对值+c2的绝对值+c3的绝对值+...+cn的绝对值（n∈N*）的通项公式
过程详细些，O(∩_∩)O谢谢

Answer 1

(1)不妨设a(n+1)-an=k[an-a(n-1)]=an+3；
于是(k-1)an=Ka(n-1)+3；
比较可以看出来K=2是恒定成立的；
于是数列{a(n+1)-an}是以2为公比的等比数列

(2)上面已经分析{a(n+1)-an}是以2为公比的等比数列
又a2-a1=a1+3=2；
所以有a(n+1)-an=2^n；
列举如下：
a2-a1=2
a3-a2=4
...
an-an-1=2^(n-1)
全部相加得到an-a1=2+4+...+2^(n-1)=2^n-2
于是an=2^n-3；

(3)Cn=2^n-2n-3
首先C1=-3 C2=-3 C3=-1 C4=5 C5以后都大于0的不在列举
先不管绝对值 设Cn的前n项和为Pn
那么Pn=2^(n+1)-2-n(n+1)-3n=2^(n+1)-n²-4n-2
C1+C2+C3=-7 取正后为7
当n大于等于3的时候 Pn与Sn相差为2*7=14
故而Sn=Pn+14=2^(n+1)-n²-4n+12(n大于等于3)；
n=1时Sn=3
n=2时Sn=6

追问

你那个K我看不出来为什么K=2恒成立，解释详细些，谢谢

追答

(k-1)an=Ka(n-1)+3和题目中给的已知条件对比下，就有k-1=1，k=2 其实两个方程都说明的k=2；你可能认为不严谨；我的分析如下
其实K是待定系数，题目中给出了是等比数列，所以才这么假设的，为了就是
由题目给出的条件推出a（n+1）=2an+3推出来a(n+1)-an=2[an-a(n-1)]这个式子，现在看来，它们其实是等价的；

Answer 2

(2)、a（n+1）=2an+3
a（n+1）+3=2[an+3]
[a（n+1）+3]/[an+3]=2
{a（n+1）+3}是等比数列
等比2；首项2
an+3=2*2^(n-1)=2^n
an=2^n-3
（1）an+1-an=2^(n+1)-3-[2^n-3]=2^n
数列{a（n+1）-an}是等比数列
（3）Cn=2^n-2n-3
Sn=c1的绝对值+c2的绝对值+c3的绝对值+...+cn的绝对值
n=1时Sn=3
n=2时Sn=6
n≥3时列项求和
Sn=[2^(n+1)-2]/[2-1]-2n(n+1)/2-3n=2^(n+1)-n²-4n-2

追问

那个a（n+1）-an=2^n 貌似不能说明，那个就是等差数列...应该等于一个常数吧...