Question

不定方程问题

证明不定方程x^2+y^2=3(z^2+w^2)没有非零整数解。

Answer 1

假设有非零解，且（x,y,z,w)=1 （因为如果有公约数的话则4个数都可以除以公约数仍满足方程）。
因为(x^2+y^2)/3=z^2+w^2为整数，故x^2+y^2能被3整除。
而因为3k, 3k-1,3k+1的平方被3除余数只能为0，1，因此要使x^2+y^2能被3整除，x,y都得为3的倍数。设x=3x1, y=3y1,代入得：3(x1^2+y1^2)=z^2+w^2
同理，z,w都得为3的倍数。设w=3w1, z=3z1
这样x,y,z,w,就有公约数3了，与假设矛盾。
因此不存在非零解。结论成立。