Question

请数学高手来解答！因式分解和十字相乘法。

因式分解：（X-1)(X+2)(X-3)(X+4)+24 请写过程
另外还有个疑问：十字相乘法什么时候能用，什么时候不能用，请详细些。

Answer 1

(x^2+x-12)(x^2+x-2)+24
=(x^2+x)^2-14(x^2+x)+48
=(x^2+x-6)(x^2+x-8)
当且仅当二次三项式方程有“有理数根”时，才能使用十字相乘法因式分解。

如果二次三项式方程虽然有实数根，但是没有有理数根（即虽然a,b,c为整数，且b^2-4ac≥0，但b^2-4ac不是完全平方数），那么肯定不能使用十字相乘法因式分解。

例如x^2-2x-1对应的二次三项式方程x^2-2x-1=0没有有理数根，其因式分解式
x^2-2x-1＝(x-1+√2)(x-1-√2)　
是不能使用十字相乘法得到的。必须用配方方法得到，即
x^2-2x-1＝(x-1)^2-(√2)^2=(x-1+√2)(x-1-√2)。

追问

题目的第二部看不懂

Answer 2

（X-1)(X+2)(X-3)(X+4)+24
=[(X-1)(X+2)][(X-3)(x+4)]+24
=[X2+X-2][X2+X-12]+24
=[(X2+X)-2][(X2+X)-12]+24
把（X2+X)看作一项，展开原式化简得
原式=(X2+X)2-14(X2+X)+48
把48再拆为-6和-8再用十字相乘法得
原式=（X2+X-6)(X2+X-8)
至于说十字相乘法什么时候能用，什么时候不能用，有解答了，很详细.

Answer 3

（X-1)(X+2)(X-3)(X+4)+24
=（x2+x-2)(x2+x-12）+24
令x2+x=y
(y-2)(y-12)+24
=y2-14y+48=(y-6)(y-8)
即得（x2+x-6)(x2+x-8)
=(x-2)(x+3)(x2+x-8)
伟达定理x2+ax+b=0, 则:根1+根2=-a, 根1*根2=b
十字相乘法什么时候能用,
有整数解能用，否则不能用

Answer 4

原式=(x^2+x-2)(x^2+x-12)+24
令x^2+x=k
则有(k-2)(k-12）+24=k^2-14k+24+24=k^2-14k+48=(k-6)(k-8)=(x^2+x-6）(x^2+x-8）
当完全平方式和平方差公式不能用时就用十字相乘