Question

已知二次函数f(x)=ax^2+bx+c(a,b,c∈R)满足f(1)=1 f(-1)=0 且对任意实数x都有f(x)

都有f(x)≥x
(1)证明a＞0 c＞0 （2）设g（x）=f（x）-mx （m∈r） 求M的取值使得g(x)在【0,1】上单调
那个可以的话 解答规范一点

Answer 1

第（1）小题
f(1)=a+b+c=1
f(-1)=a-b+c=0
两式相减得b=1/2，故有a+c=1/2
f(x)=ax^2+(1/2)x+(1/2 -a)
任意实数x都有f(x)≥x
即ax^2-(1/2)x+(1/2 -a)≥0恒成立
开口向上，与x轴最多一个交点
则有a>0 ，Δ=(1/4)-4a(1/2 -a)≤0
即a>0，(4a-1)^2≤0
所以a=1/4 c=1/4
显然a>0，c>0
第(2)小题
f(x)=(1/4)x^2+(1/2)x+1/4
g(x)=(1/4)x^2+(1/2-m)x+1/4
对称轴为x=2m-1
【0,1】上单调可知
2m-1≤0或2m-1≥1
即m≤1/2或m≥1

Answer 2

（1）f(1)=a+b+c=1,
f(-1)=a-b+c=0.
相减得2b=1,b=1/2.
∴a+c=1/2.(1)
对任意实数x都有f(x)>=x,
<==>ax^2-x/2+c>=0,
<==>a>0,且1/4-4ac<=0，(2)
<==>a>0,c>0.
(2)由（1）、（2）式，1/4-4a(1/2-a）=4a^2-2a+1/4=(2a-1/2)^2<=0,
a=1/4=c,
g(x)=(1/4)x^2+(1/2-m)x+1/4在[0,1]上单调，
<==>(m-1/2)/(1/2)<=0,或（m-1/2)/(1/2）>=1,
<==>m<=1/2,或m>=1.

Answer 3

(1)对任意实数x都有f(x)≥0，说明该抛物线是开口向上的，故a＞0，且b^2-4ac≤0
f(1)=1，则a+b+c=1
f(-1)=0 ，则a-b+c=0
二式相减，得b=1/2。于是4ac≥1/4，ac≥1/16，由于a>0，所以c>0。
（2）g(x)=f（x）-mx =ax^2+(1/2-m)x+c
若g(x)在【0,1】上单调，那么有(m-1/2)/(2a)≥1或(m-1/2)/(2a)≤0
解得m≥1/(2a)+1/2或m≤1/2

Answer 4

1、由对任意实数x都有f(x)≥x，得a>o且(b-1)^2-4ac<=0
因为(b-1)^2>=0,所以4ac>=0,则c>=0
当c=0时，易b=1由f(1)=a+b+c=1得a=0,矛盾
故c>0
2、f(1)=a+b+c=1，f(-1)=a-b+c=0
解得b=1/2,c=1/2-a 又(b-1)^2-4ac<=0
得ac>=1/16
g（x）=f（x）-mx =ax^2+(1/2-m)x+1/2-a,其对称轴方程为：x=-（1/2-m)/2a
由 g(x)在【0,1】上单调，得
-（1/2-m)/2a<=0或-（1/2-m)/2a>=1
解得m<=1/2或m>=2a-1/2
由a=c=1/2,得1/4-4a(1/2-a)<=0,解得a=1/4 ,此时m>=1
故m<=1/2或m>=1

Answer 5

解：（1）f(1)=a+b+c=1,f(-1)=a-b+c=0 两式相加得a+c=1/2,两式相减得b=1/2
对于任意的x，f(x)=ax^2+1/2x+c≥x,即ax^2-1/2x+c≥0 设h(x)=ax^2-1/2x+c,
配方得h(x)=a(x^2-1/4a)-1/16a+c,对于任意的x，若h(x)≥0,（当a=0时，h(x)=-1/2x+c,为直线 不符合≥0条件，所以a≠0）则二次函数h(x)必开口向上，所以a>0
h(x)=a(x^2-1/4a)-1/16a+c的最小值为-1/16a+c≥0，c≥1/16a,而a>0,则c>0
(2)g(x)=f(x)-mx=ax^2+1/2x+c-mx=ax^2+(1/2-m)x+c.若g(x)在[0，1]单调，
则其对称轴x= (m-1/2）/2a不在（0，1）即(m-1/2）/2a≤0或者(m-1/2）/2a≥1
解得m≤1/2或m≥a-1/2,所以m的取值为[a-1/2,1/2]
另外，a>0,c>0,a+c=1/2,所以0<c<1/2
多年没做高中题了，答得不是很规范，自己调整一下吧