Question

f(x)=x^3-ax^2-a^2x求函数f(x)的单调区间

Answer 1

由题知，
f(x)=x³-ax²-a²x

对f(x)求导得

f'(x)=3x²-2ax-a²
=(3x-a)(x+a)=0
解得x1=a/3,x2=-a

所以，
若a＝0,
f(x)在(-∞,+∞)上递增

若a＜0
f(x)在(-∞,a/3)和(-a,+∞)上递增
f(x)在(a/3,-a)上递减

若a＞0
f(x)在(-∞,-a)和(a/3,+∞)上递减
f(x)在(-a,a/3)上递增

Answer 2

因为 f(x)=x^3-ax^2-a^2x，所以f'(x)=3x^2-2ax-a^2，当f'(x)=0，即3x^2-2ax-a^2=0时，x=-a/3，x=a，所以
1.当a=0时，f‘（x）=x^2≥0，所以函数f(x)=x^3-ax^2-a^2x在（-∞，+∞）是增函数；
2.当a＜0时，x＜a时，f'(x)=3x^2-2ax-a^2＞0，；当a＜x＜-a/3时，f'(x)=3x^2-2ax-a^2＜0；当
x＞-a/3时，f'(x)=3x^2-2ax-a^2＞0，所以函数f(x)=x^3-ax^2-a^2x在（-∞，a]是增函数，在[a，-a/3]是减函数，在[-a/3，+∞）是增函数；
3.当a＞0时，x＜-a/3时，f'(x)=3x^2-2ax-a^2＞0，；当-a/3＜x＜a时，f'(x)=3x^2-2ax-a^2＜0；当
x＞a时，f'(x)=3x^2-2ax-a^2＞0，所以函数f(x)=x^3-ax^2-a^2x在（-∞，-a/3]是增函数，在[-a/3，a]是减函数，在[a，+∞）是增函数；