Question

在等腰梯形ABCD中,AD平行BC,对角线AC⊥BD于点O,AE垂直BC,Df垂直BC,垂足分别为E,F,AD=4,BC=8,求AE的长

Answer 1

解：延长BC至G，使DG∥AC，
∵AD∥BC，
∴四边形ADGC为平行四边形，
∴DG=AC，
∵AC⊥BD，
∴DG⊥BD，
又等腰梯形ABCD，
∴AC=BD，
∴DG=BD，
∴△DBG为等腰直角三角形，
∴BG2=2BD2
∴（BC+AD）2=2BD2
∴BD=DG=6
∵DF⊥BG，
∴DF=FG，
∴2DF2=（ ）2
∴DF=6，可得FC=6-4=2，
又∵AE⊥BC，DF⊥BC，AD∥BC，
∴ADFE为矩形，
∴AE=DF，AD=EF，
∵AB=CD，∠AEB=∠DFC，
∴△ABE≌△DCF，
∴BE=DF，
∴EF=BC-2FC=8-2FC=4，
∴AE+EF=6+4=10．

追问

BG2=2BD2
∴（BC+AD）2=2BD2
2DF2=（ ）2
是什么啊？

Answer 2

解：过D点作AC的平行线，交BC的延长线于G点，
∵AD∥BC，
∴四边形ADGC为平行四边形，
∴DG=AC，
∵AC⊥BD，
∴DG⊥BD，
∵等腰梯形ABCD，
∴AC=BD，
∴DG=BD，
∴△DBG为等腰直角三角形，
∴∠G=∠ACE=45°，
∴AE=CE=6，
∴FC=6-4=2，
∴EF=BC-2FC=8-2FC=4，
∴AE+EF=6+4=10．