Question

对于-1≤a≤1，不等式x²+（a-2)x+1-a>0恒成立的x的取值范围。 请写出过程。谢谢

Answer 1

x^2+（a-2)x+1-a=(x-1)(x+a-1)=0 此时为二元方程
若有解,其二跟为1,1-a
因为-1<=a<=1 所以 0<=1-a<=2
当0<=(1-a)<=1 , 此时不等式的解为(-无穷,1-a)并(1,+无穷),取最小子集(-无穷,0)并(1,+无穷)
当1<(1-a)<=2,此时不等式的解为(-无穷,1)并(1-a,+无穷) ,取最小子集(-无穷,1)并(2,+无穷)
取其交集得到(-无穷,0)并(2,+无穷)
即为所求.

Answer 2

x²+(a-2)x+1-a=(x-1)(x+a-1)=0，此时二次方程的两根为x1=1,x2=1-a
⑴当x1<x2，即1<1-a时，-1≤a<0，解不等式x²+(a-2)x+1-a>0得x≤1或x≥1-a；
⑵当x1=x2，即1=1-a时，a=0，原不等式即x²-2x+1>0，解得x≠1；
⑶当x1>x2，即1>1-a时，0<a≤1，解不等式x²+(a-2)x+1-a>0得x≤1-a或x≥1；
综上所述，
当-1≤a<0时，x≤1或x≥1-a；
⑵当a=0时，x≠1；
⑶当0<a≤1时，x≤1-a或x≥1。