Question

设a,b,c是正数，且a+b大于c，求证：a除以（1+a)加上b除以（1+b)大于c除以(1+c)

Answer 1

复杂的不等式证明可以用分析法：
要证明a/(1+a)+b/(1+b)>c/(1+c)，
因为(1+a)，(1+b)，(1+c)都大于0，
只要证明：(1+a)(1+b)(1+c)[a/(1+a)+b/(1+b)]>(1+a)(1+b)(1+c)[c/(1+c)],
化简得：a+b+ab>c，
因为a,b都是正数，又a+b>c成立，
所以a+b+ab>c显然成立。
问题得证。

Answer 2

a/(1+a)+b/(1+b)-(a+b)/(1+a+b)=ab(a+b+2)/(1+a)(1+b)(1+a+b)>0
所以a/(1+a)+b/(1+b)>(a+b)/(1+a+b)
因为是f(x)=x/(1+x)增函数，a+b大于c
所以f(a+b)>f(c),即(a+b)/(1+a+b)>c/(1+c)
所以a/(1+a)+b/(1+b)>(a+b)/(1+a+b)>c/(1+c)

Answer 3

直接用a除以（1+a)+b除以(b+1)减去c除以(c+1)最后等于abc+2ab+a+b-c除以（a+1)(b+1)(c+1)因为a
b
c都是正数
a+b大于c所以上式大于0结果的证

Answer 4

a/(1＋a﹚＞a/﹙1＋a＋b﹚
b/﹙1＋b﹚＞b/﹙1＋a＋b﹚
∴a/(1＋a﹚＋b/﹙1＋b﹚＞﹙a＋b﹚/﹙1＋a＋b﹚
令a＋b＝c＋t t＞0
∴a/(1＋a﹚＋b/﹙1＋b﹚＞﹙c＋t﹚/﹙1＋c＋t﹚＞c/﹙1＋c﹚
最后一步用的是真分数性质