Question

在三角形ABC中,sinA=cosB是A+B=90的必要不充分条件！急急急急急！

为什么对，不是说了在三角形中了吗，为什么答案说可以+2k派

Answer 1

＂sinA＋sinB＝cosA＋cosB＂是＂C＝90度＂的充要条件.

(1).若sinA＋sinB＝cosA＋cosB

sinA+sinB
=sin[(A+B)/2+(A-B)/2]+sin[(A+B)/2-(A-B)/2]
={sin[(A+B)/2]*cos[(A-B)/2]+cos[(A+B)/2]*sin[(A-B)/2]}
+{sin[(A+B)/2]*cos[(A-B)/2]-cos[(A+B)/2]*sin[(A-B)/2]}
=2sin[(A+B)/2]*cos[(A-B)/2]

cosA+cosB
=cos[(A+B)/2+(A-B)/2]+cos[(A+B)/2-(A-B)/2]
={cos[(A+B)/2]*cos[(A-B)/2]-sin[(A+B)/2]*sin[(A-B)/2]}
+{cos[(A+B)/2]*cos[(A-B)/2]+cos[(A+B)/2]*sin[(A-B)/2]}
=2cos[(A+B)/2]*cos[(A-B)/2]

∴2sin[(A+B)/2]*cos[(A-B)/2]=2cos[(A+B)/2]*cos[(A-B)/2]
cos[(A-B)/2]*{[2sin[(A+B)/2]-cos[(A+B)/2]}=0
∴cos[(A-B)/2]=0或者[2sin[(A+B)/2]-cos[(A+B)/2]=0
即cos[(A-B)/2]=0或者tan[(A+B)/2]=1

所以(A-B)/2=∏/2+K∏,(K∈Z)或者(A+B)/2=∏/4+K∏,(K∈Z)
即A-B=∏+2K∏,(K∈Z)或者A+B=∏/2+2K∏,(K∈Z)

又A,B,C是三角形的内角,
所以A+B=∏/2
所以
C＝90度.

(2).若C＝90度,则A+B=90度.
sinA＋sinB
=sinA+sin(90-A)
=sinA+cosA
cosA＋cosB
=cosA+cos(90-A)
=cosA+sinA

∴sinA＋sinB＝cosA＋cosB

综上所述, 三角形ABC中，＂sinA＋sinB＝cosA＋cosB＂是＂C＝90度＂的充要条件

1)sinA+sinB=cosA+cosB
--->(sinA-cosA)+(cosB)=0
--->(√2/2*sinA-√2/2*cosA)+(√2/2*sinB-√2/2*cosB)=0
--->sin(A+Pi/4)+sin(B-Pi/4)=0
--->2sin[(A+B)/2-Pi/4]cos[(A-B)/2]=0
--->sin[(A+B)/2+Pi/4]=0 or cos[(A-B)/2]=0
--->(A+B)/2-Pi/4=0 or (A-B)/2=+'-Pi/2
--->A+B=Pi/2 or A-B==+/-Pi(此为不可能)
--->C=Pi/2.
充分条件成立.
2)C=Pi/2--->A+B=Pi/2--->B=Pi/2-A
--->cosB=sinA,cosA=sinB
--->sinA+sinB=cosA+cosB.
必要条件成立.
所以sinA+sinB=cosA+cosB是C=Pi/2的充要条件..

Answer 2

答案错了