Question

已知函数f(X)=Asin（wx+b)（A>0,w>0,0<b<pi/2) 函数最大值为2，其图像相邻两对称轴间的距离为4

且过点（1，2）
1，求函数解析式
2，计算f(1)+f(2)=...+f(1011)
f(1)+f(2)+...+f(2011)

Answer 1

（1）f(x)=2sin(πx/4 + π/4)
（2）2+√2

最大值为2，即A=2；
图像相邻两对称轴距离为4，即T/2=4，则T=8=2π/w，所以，w=π/4；
图像过点（1，2），即f(x)=2，即2sin(π/4*1+b)=2，sin(b+π/4)=1，b=π/4。
所以，f(x)=2sin(πx/4 + π/4)
（2）周期为8，一个周期内，即连续8个整数点所得函数值之和刚好为0
f(1)=2, f(2)=√2，
f(3)=0, f(4)=-√2, f(5)=-2, f(6)=-√2, f(7)=0, f(8)=√2, f(9)=2, f(10)=√2,
f(11)=0,
……
f(2011)=0
即f(3)+f(4)+f(5)+f(6)+f(7)+f(8)+f(9)+f(10)=0，
2011-2=2009,
2009/8=251……1，
所以，f(1)+f(2)+...+f(2011)=f(1)+f(2)+……+0*251+f(2011)=2+√2

Answer 2

(1)由题，A=2
周期T=2pi/w,又T/2=4，T=8
所以w=pi/4
又过（1,2），代入化简为，sin(pi/4+b)=1,pi/4+b=pi/2+2kpi.
又，0<b<pi/2，所以b=pi/4
(2)周期为8，所以f(1)+```````+f(9)=0,
所以算2011/8=251·····3
所以最后 f(1)+f(2)+...+f(2011)=f(1)+f(2)+f(3)=2+1+0=3