Question

设函数f(x)是定义在[-1,0)∪﹙0,1]上的奇函数，当x∈[-1,0﹚时，f(x)=2ax+1/x^2(a为实数）

若f(x)在﹙0,1]上是增函数，求a的取值范围.

Answer 1

解：f(x)在(0,1]上是增函数，那么必有0<x1<x2≤1【x1、x2是任意的】满足f(x2)>f(x1)
而f(x)是奇函数。
所以-f(x)=f(-x)
∵f(x2)>f(x1)
∴-f(x2)<-f(x1)
∴f(-x2)<f(-x1)
所以f(x)在[-1,0)上也是增函数。

取任意x1′、x2′∈[-1,0)且x1′<x2′
则f(x1′)-f(x2′)<0
即[2ax1′+1/(x1′)^2]-[2ax2′+1/(x2′)^2]<0
化简，2a(x1′-x2′)+(x2′^2-x1′^2)/[(x1′x2′)^2]
=2a(x1′-x2′)-(x2′+x1′)/[(x1′x2′)^2]*(x1′-x2′)
={2a-(x2′+x1′)/[(x1′x2′)^2]}*(x1′-x2′)<0
∵x1′<x2′
∴x1′-x2′<0
所以有2a-(x2′+x1′)/[(x1′x2′)^2]>0
∵-1≤x1′<x2′<0
所以-2≤x1′+x2′<0
0<(x1′x2′)^2≤1
所以(x2′+x1′)/[(x1′x2′)^2]的最大值小于0【无限接近于0】
所以2a>0
a>0

如有不懂可以追问或Hi我，谢谢。