Question

已知F1，F2是双曲线x^2/a^2-y^2/b^2(a>0,b>0)的两个焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，

若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率为

Answer 1

解；设MF2中点为N（F1为左焦点，F2为右焦点）因为三角形MF1F2为正三角形，所以NF2垂直于MF2，由勾股定理，NF1^2+NF2^2＝F1F2^2，且由双曲线几何定义，NF1－NF2＝2a，又NF2＝1/2＊F1F2＝c，三式联立，得2a^2＋ac－c^2=0解得a＝-c（舍）或1/2c故e＝2

Answer 2

离心率是圆锥曲线的一个重要性质，在高考中频繁出现，下面例析几种常用求法。

一、根据离心率的范围，估算e

利用圆锥曲线的离心率的范围来解题，有时可利用椭圆的离心率e∈（0，1），双曲线的离心率e>1，抛物线的离心率e=1来解决。

例1. 设，则二次曲线的离心率的取值范围为（ ）

A. B. C. D. （）

解：由，知，

故所给的二次曲线是双曲线，由双曲线的离心率e>1，排除A、B、C，故选D。

二、直接求出a、c，求解e

已知圆锥曲线的标准方程或a、c易求时，可利用率心率公式来解决。

例2. 已知双曲线的一条准线与抛物线的准线重合，则该双曲线的离心率为（）

A. B. C. D.

解：抛物线的准线是，

即双曲线的右准线，

则，解得，

故选D。

例3. 点P（-3，1）在椭圆的左准线上，过点P且方向为a=（2，-5）的光线，经直线反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（）

A. B. C. D.

解：由题意知，入射光线为，

关于的反射光线（对称关系）为

则解得

则。故选A。

三、构造a、c的齐次式，解出e

根据题设条件，借助a、b、c之间的关系，沟通a、c的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e的一元方程，从而解得离心率e。

例4. 已知F1、F2是双曲线的两焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（）

A. B. C. D.

解：如图，设MF1的中点为P，则P的横坐标为。

由焦半径公式，

即，得，

解得，故选D。

练习：

1. 过双曲线的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线相交于M、N两点，以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点A，则双曲线的离心率等于_______。

（答案：2）

2. 设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是________。

（答案：）