Question

设x属于(0,π/2),则函数y=sin2x/（sinx）^2+2的最大值为

Answer 1

y=sin2x/(sinx)^2+2=2sinxcosx/(sinx)^2+2=2cosx/sinx+2=2/tanx+2
x属于(0,π/2)时，tanx>0。因为是开区间，无法取到最大值。

追问

设x属于(0,π/2),则函数y=sin2x/（sinx）^2+2的最大值为?[分母为（sinx）^2+2}

追答

这样的话，就可解了。解法如下：
y=sin2x/[(sin^x)^2+2]=2sinxcosx/(3sin^2x+2cos^2x)=2tanx/(3tan^2x+2)
=2/(3tanx+2/tanx)
x属于(0,π/2)时，tanx>0，则：
y=2/(3tanx+2/tanx)<=2/[2√(3tanx*2/tanx)]=2/2√6=√6/6
当且仅当，3tanx=2/tanx，即tanx=√(2/3)，即x=arctan(√2/3)时，取得等号。
函数最大值为√6/6.