Question

若关于x的方程f^2(x)+bf(x)+c=0有5个实数根,其中f(x)=x+1/|x|,写出b的取值范围,及

若关于x的方程f^2(x)+bf(x)+c=0有5个实数根，其中f(x)=x+1/|x|,写出b的取值范围，及b和c的函数关系、求过程

Answer 1

设方程Y^2+bY+c=0的两个根为y1,y2
delta=b^2-4c>=0
考虑方程x+1/|x|=y
1) x>0--> x^2-yx+1=0--> delta=y^2-4>=0-->y>=2 or y<=-2
x1x2=1,表明两根同号，x1+x2=y, y>=2时两根同为正，y<=-2时两根同为负
因此这里需要x>0,因此只有当y>=2时有两个正根。而当y为其它值时，即y<2时无解
y=2时两正根相等，为重根
2)x<0--> x^2-yx-1=0-->delta=y^2+4>0,因此必有两个实根
x1x2=-1表明两根异号
因此这里需要x<0,只能取其中的负根x=[y-√(y^2+4)]/2
因此对于y>=2, 有两正根及一负根；对于y<2，只有一负根。

为使 f^2(x)+bf(x)+c=0有5个实数根，则只能是y1>=2, y2>=2, 且其中一个方程的两正根是重根，
这样就有5个不同实根了。不妨设y1使得x^2-y1x+1=0有重根，y2使得x^2-y2x+1=0没有重根
则有y1=2, y2>2
y1+y2=-b--> y2=-b-2>2 ---> 得范围 b<-4
y1y2=c--> y2=c/2
由y2=-b-2=c/2, 得关系式 c+2b+4=0