Question

变态的奥数题

能不能有两个连续自然数，他们的各位数字和是2010的倍数？说明理由。要是2011呢？

Answer 1

首先须了解加法和各位数字和的关系。
假设A + B = C，
A的各位数字和为a，B的各位数字和为b，C的各位数字和为c，那么各位数字和有如下关系：
a + b - 9*K = c 【其中K是A + B时发生的进位次数。】
例如：
43+24 = 67，相加不发生进位，那么各位和的加法：(4+3) + (2+4) = 13 = 6+7
43+28 = 71，相加发生1次进位，那么各位和的加法：4+3+2+8-1*9 = 8 = 7+1

你题目意思不清楚。

①如果是说求两个连续自然数，每个数的各位数字和都能被2010整除，如下思考：

对两个连续自然N，N+1
如N的各位数字和为2010的倍数= 2010M，
则N+1的各位数字和 = 2010M + 1 - 9*K = 2010(M - 1) + (2011 - 9K)
显然，要使 N+1的各位数字和 为2010的倍数，则2011 - 9K 必须为2010的倍数：
2011 - 9K = 0或2010，K无整数解。
因此不存在两个连续自然数，他们的各位数字和是2010的倍数。

同理，对2011
N的各位数字和为2011的倍数= 2011M
则N+1的各位数字和 = 2011M + 1 - 9*K = 2011(M - 1) + (2012 - 9K)
2012 - 9K = 0或2011，K亦无整数解。同样不存在。

②如果是求两个连续自然数，两个数所有组成数字的和是2010、2011的倍数，如下思考：
N的各位和 = M，N + 1的各位和 = M + 1 - 9K，两数的数字之和
= M + M + 1 - 9K
= (2M + 1) - 9K = 2010
显然最小有K = 1，M = 1009。
因此存在这样的N例如：
7999...99939 【1个7，110个9，1个3，1个9，各位数字和1009】注：这个N不是此时的最小值，仅以此举例。
则N+1的形式为：
7999...99940 【1个7，110个9，1个4，1个0，各位数字和1001】符合两个数各数之和是2010的倍数。

同法，对两个数的所有数字之和为2011的倍数的，
M + (M + 1 - 9K) = (2M + 1) - 9K = 2011
存在解K = 0，M = 1005
N的最小形式就是
1999...9995 【1个1，111个9，1个5，各位数字和1005】
N+1的形式就是
1999...9996 【1个1，111个9，1个6，各位数字和1006】符合符合两个数各数之和是2011的倍数。

Answer 2

解：
2010是偶数，两个连续自然数，他们的各位数字和一定是个奇数，因此不可能是2010的倍数。
2011是奇数，一定有两个连续的自然数，可能是2011的倍数！！！
例子有好多，如1999……995,1999………996，中间省略号全是9，，两个数都有111个9，所有数字和为1*2+9*111*2+5+6=2011！

Answer 3

2011

Answer 4

2010是不行的，不过2011可以，因为两个相邻的自然数，个位数和为奇数。

Answer 5

设两地相距s,原速为v,时间为t,则s=vt,提速1/4后s=(t-24)(1+1/4)v,提速1/3后s=80+(1+1/3)v(t-10-80/v),再解方程

Answer 6

由公式vt=s，速度提高0.25，时间降低到0.8，反正路程不变，这样求得原定时间是120分钟，然后再分析路程。