一道高中数学竞赛题
设整数n>=2，正实数x1，x2，……xn满足(x1+x2+……xn)(1/x1+1/x2+……1/xn)=n^2+1求证：（x1^2+x2^2+……+xn^2）(1/x...
设整数n>=2，正实数x1，x2，……xn满足(x1+x2+……xn)(1/x1+1/x2+……1/xn)=n^2+1
求证：（x1^2+x2^2+……+xn^2）(1/x1^2+1/x2^2+……+1/xn^2)>=n^2+4+2/n(n-1)
请高手赐教，万分感谢！！！ 展开
求证：（x1^2+x2^2+……+xn^2）(1/x1^2+1/x2^2+……+1/xn^2)>=n^2+4+2/n(n-1)
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n^2 *（x1^2+x2^2+……+xn^2）(1/x1^2+1/x2^2+……+1/xn^2)
=
(1+……+1+1)(1+……+1+1）（x1^2+x2^2+……+xn^2）(1/x1^2+1/x2^2+……+1/xn^2)
>=【（x1^2+x2^2+……+xn^2）(1/x1^2+1/x2^2+……+1/xn^2)】^2
=(n^2+1)^2
接下来只要把n^2除过来就行了 结合n>=2 可得
=
(1+……+1+1)(1+……+1+1）（x1^2+x2^2+……+xn^2）(1/x1^2+1/x2^2+……+1/xn^2)
>=【（x1^2+x2^2+……+xn^2）(1/x1^2+1/x2^2+……+1/xn^2)】^2
=(n^2+1)^2
接下来只要把n^2除过来就行了 结合n>=2 可得
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