Question

求解：一个简单的三角函数最值的题

题:
函数f(A)=sqrt( cos(A)^2 + cos(2/3*π-A)^2 ) ，A∈(0,2/3*π)
求函数f(A)最小值

//注：不会打平方根，所以用缩写sqrt替代
如图，结果应该是A=1/3π时f(A)=(懒得算结果了)，计算题总不能只写个结果，所以求高人解答步骤(鄙人高中文化,不敢高攀高深解法)

Answer 1

我们先来求使得函数f(A)最小的A。
平方根是单调函数，所以使得f(A)=sqrt( cos(A)^2 + cos(2/3*π-A)^2 )最小的A和使得函数g(A)= cos(A)^2 + cos(2/3*π-A)^2 最小的A是一样的。所以，我们不需要考虑根号。

根据cos(2x)=2cos(x)^2-1，我们知道cos(x)^2 = (1/2)(1+cos(2x))。所以，
g(A) = cos(A)^2 + cos(2/3*π-A)^2
=1/2+(1/2)cos(2A)+1/2+(1/2)cos(4π/3-2A)
=1+(1/2)[cos(2A)+cos(4π/3-2A)]
=1+(1/2)[cos(2A)+cos(4π/3)cos(2A)+sin(4π/3)sin(2A)]
=1+(1/2)[cos(2A)-(1/2)cos(2A)-(sqrt(3)/2)sin(2A)]
=1+(1/2)[(1/2)cos(2A)-(sqrt(3)/2)sin(2A)]
=1+(1/2)[cos(π/3)cos(2A)-sin(π/3)sin(2A)]
=1+(1/2)cos(π/3+2A).

由于cos(x)函数在x=π时取得最小值，π/3+2A=π时g(A)和f(A)取得最小值。解得满足A∈(0,2/3*π)的A值为π/3。将这个值代入f(A)可得到最小值（相信你已经算出来了）。

追问

貌似有点问题g(A)最小=0.5才对，1+(1/2)cos(π/3+2A)=1.5 ?
鄙人眼拙未看到错误，求鉴定
-----------修改分割线------------
鄙人愚昧了，cos()=-1 |
果然~唉

Answer 2

f(A)=sqrt( cos(A)^2 + cos(2/3*π-A)^2 )
=√[2cos [(A)^2+(2π/3-A)^2]/2cos [(A)^2-(2π/3-A)^2]/2
有图知A=1/3π时函数f(A)最小值
f(A)=√[2cos [(π/3)^2+(2π/3-π/3)^2]/2cos [(π/3)^2-(2π/3-π/3)^2]/2
=√[2cos (π/3)^2cos 0]=√[2cos 3600]=√2

追问

"有图知"这个条件行不通，给图只是朋友们方便解答……
说实话这步骤真没看懂，
鄙人觉得应该先化简成一个三角函数形如f(x)=a+b*sin(c+d*x) , (a,b,c,d为常数)(不一定是sin)

追答

f(A) = √[cos(A)^2 + cos(2/3*π-A)^2]
=√[1/2+(1/2)cos(2A)+1/2+(1/2)cos(4π/3-2A)]
=√[1+(1/2)[cos(2A)+cos(4π/3-2A)]
=√[1+cos(2π/3)*cos(2A-2π/3)]
=√[1-1/2*cos(2A-2π/3)]
当A=π/3函数f(A)最小值
f(A)=√2/2

追问

哎，确实talk2danny先弄对，
要是百度支持多个正解就好了……sorry

Answer 3

...

Answer 4

楼主你怎么知道在π/3上取最小值？不能就凭这张图吧

还有1L，2L那两位
1L，倒数第二步，cos (π/3)^2=1？
2L，2cos(1/3π)^2=4cos(1/3)？

追问

图是用 几何画板 画出来的，可信度较高（虽然有较小误差）

追答

talk2danny的回答是正确的，我昨天也想用倍角公式和和差化积公式

我昨天是不太确定你的“cos(A)^2”的意思是(cosA)2还是cosA2，也就是说我没有弄懂这个平方是对A角起作用还是对cosA起作用。如果是前者，那我确实不会做了。

我觉得如果你不想引起误会的话，“角A求余弦，再把所得的值平方”最好写成(cosA)2，因为这是百度，不是WORD。唉，不知百度数学吧是怎么过来的。

追问

以前玩jass代码(一个无名的东)，习惯了这种写法：
将cos()视作一个代入实数并返回实数的余弦的函数(本来就是函数，形如 f(x) )
就是指cos(A)已经代表A的余弦，我觉得没问题啊？如果是 A的平方的余弦，我会写成cos(A^2)
还是谢谢指教了