Question

已知数列{an}的各项均为正数,且满足关系式2√Sn=an+1(这里Sn为数列{an}的前n项和)，求an

已知数列{an}的各项均为正数,且满足关系式2√Sn=an+1(这里Sn为数列{an}的前n项和)，求an

Answer 1

由2√Sn=an+1，及an=Sn-S(n-1)（n>=2）
4Sn=(an+1)^2=[Sn-S(n-1)+1]^2=Sn^2+S(n-1)^2+1+2Sn-2S(n-1)-2Sn*S(n-1);
那么Sn^2+S(n-1)^2+1-2Sn-2S(n-1)-2Sn*S(n-1)=0；
即[Sn-S(n-1)-1]^2=0，又因为an>0，所以Sn>S(n-1)，所以Sn-S(n-1)=1，所以{Sn}是一个等差数列。
令n=1，则2√a1=a1+1，所以a1=1;S1=1;
所以Sn=1+(n-1)*1=n
所以an=n-(n-1)=1为常数数列。或者 an=2√n-1