Question

已知函数f(x)=m(x+1/x)的图像与h(x)=1/4(x+1/x)+2的图像关于点A（0,1）对称

（1）求m的值。（2)若g(x)=f(x)+a/4x在（0,2】上是减函数，求实数a的取值范围

Answer 1

已知函数f(x)=m(x+1/x)的图像与h(x)=1/4(x+1/x)+2的图像关于点A（0,1）对称
（1）求m的值。（2)若g(x)=f(x)+a/4x在（0,2】上是减函数，求实数a的取值范围

(1)依题意，f(x)与h(x)的图像都向下平移一个单位后，两个图像关于原点对称
f(x)图像下移一个单位后得到f1(x)=m(x+1/x)-1 …………①
h(x)图像下移一个单位后得到h1(x)=(1/4)(x+1/x)+1 …………②
f1(x)与h1(x)两个图像关于原点对称，所以，对任意x都有f1(x)+h1(-x)=0，即
[m(x+1/x)-1]+[ (1/4)(-x-1/x)+1]=0，
整理得(4m-1)(x+1/x)=0
要使上式对任意x都成立，只有4m-1=0，解得
m=1/4

介绍一个图像变换的公式，两个函数y=h(x),y=f(x)
图像关于（a，b）对称
则有y=f(x)就是2b-y=h(2a-x)……*
把（0，1）代入*式，整理可得y=1/2(x+1/x)
所以m=0.5
如果不理解上面的公式，那就可以用特殊点法。
h(1)=3
所以h（x）过点（1，3）
f（x）就过点（-1，-1)
于是
-2*m=-1
m=0.5

2.g(x)=x/2+(a+1)/2x
对a要分类讨论
a=-1时，g（x）=x/2
在R上递增，不符合题意。

a<-1时，g（x）是一个在（负无穷，0）（0，正无穷）上分别递增的函数，也不成立。

所以a>-1，形成的是对钩函数（想想NIKE的商标就可以了）
在（0，正无穷）上有一个最小值n
0<x<=n是，函数递减，x>=n时，函数递增。
而n满足n/2=(a+1)/2n
即n^2=a+1
所以，要想g(x)在（0，2】上为减函数，只需n>=2
此时a+1>=4
a>=3