Question

已知函数满足f(x)=ln(1+x)/x,确定y＝f(x)在（0，正无穷）上的单调性，设h(x)=xf(x)-x-ax^3在（0，2）

已知函数满足f(x)=ln(1+x)/x,确定y＝f(x)在（0，正无穷）上的单调性，设h(x)=xf(x)-x-ax^3在（0，2）有极值，求a的取值范围

Answer 1

（1）当x趋向于o时，用等价无穷小，得出
lim[ln(1+x)/x]=lim[x/x]=1
假设函数y1=ln(1+x) y2=x
y1与y2在（0，正无穷）上单调递增
y1'=1/(1+x)；y2'=1
当x＞0时，y1'＜1
y1比y2增长幅度小。因此函数f(x)=ln(1+x)/x单调递减。

（2）h(x)=xf(x)-x-ax^3
=ln(1+x)-x-ax^3
h(x)'=1/(1+x)-1-3ax^2
={-x(3ax^2+3ax+1)}/(x+1)
要使h(x)=xf(x)-x-ax^3在（0，2）有极值，
则有函数y=3ax^2+3ax+1在（0，2）与x轴相交。
若y（2）≥0，则必须有y（2）=18a+1≥0
3a＞0
y(min)=1-(3/4)a≤0
解得，a≥4/3
若y（2）＜0，因为y(0)＞0，则函数与x轴必然有交点，
y（2）=18a+1＜0
解得，a＜-1/18
综上所述，a的取值范围为{a＜-1/18或a≥4/3}

Answer 2

用到多次求导。
f'(x)=[x-(1+x)ln(1+x)]/(1+x)x^2
可以看到f'(0)=0，那么我们很想证明f'(x)在（0，+∞）恒正或恒负。
分母恒为正，不管他。设分子g(x)=x-(1+x)ln(1+x)。
g'(x)=1-ln(1+x)-1=-ln(1+x)<0
所以g(x)为减函数。又因为g(0)=0，所以g(x)<0，即f'(x)<0，即f(x)为减函数。