Question

函数f(x)的定义域为R，若f(x+1)与f(x-1)都是奇函数，则( )

A.f(x)是偶函数 B.f(x)是奇函数 C.f(x)=f(x+2) D.f(x+3)是奇函数

答案选D，希望每个选项都能解释一下，谢谢！

Answer 1

解：∵f（x+1）与f（x-1）都是奇函数，
∴f（-x+1）=-f（x+1），f（-x-1）=-f（x-1），
∴函数f（x）关于点（1，0）及点（-1，0）对称，不是奇函数也不是偶函数，AB错；
又因为：函数f（x）是周期T=2[1-（-1）]=4的周期函数，所以C错；
∴f（-x-1+4）=-f（x-1+4），
f（-x+3）=-f（x+3），
f（x+3）是奇函数，D成立．
故答案为：D．

Answer 2

因为fx+1和fx-1都是奇函数，可以知道，这是一个周期函数
周期是2
所以fx+3是奇函数

Answer 3

d

Answer 4

f(x＋1)是奇函数，则f(－x＋1)=－f(x＋1)
f(x－1)是奇函数，则f(－x－1)=－f(x－1) ==>>> f[－(x＋2)－1]=－f[(x＋2)－1]=－f(x＋1)
则：f(－x＋1)=f[－(x＋2)－1]=f(－x－3) ==>>> f(－x＋1)=f(－x－3) ===>>> f(x＋1)=f(x－3)
则f(x)是以4为周期的函数，即：f(x)=f(x＋4)
又：f(－x＋1)=－f(x＋1) ===>>> f[－(x＋4)＋1]=－f[(x＋4)＋1]　==>>> f(－x－3)=－f(x＋5)
f(x＋5)=f(x－3)
所以：f(－x－3)=－f(x－3)，即：f(x＋3)是奇函数。