Question

一道初二的几何题

如图，△ABC中，∠BAC=90°，M为AC的中点，AG⊥BM于G点，且BG=2GM.
求证：1.BC=3AG 2. 若AB=根号6，求BM的长
PS：不要用相似。

Answer 1

先看第一题：
由题意可知 △ABG∽△MAG∽△MBA
所以 GM:AM=AM:BM
AM的平方=GM×BM
因为 BM=3GM
所以 AM的平方=3（GM的平方）
同样 AB:BG=BM:AB
又因 BG=2GM,BM=3GM
所以 AB的平方=BG×BM=6(GM的平方）
由勾股定理得
AG的平方=AB的平方-BG的平方
=6（GM的平方）-4（GM的平方）
=2（GM的平方）
同理可得
BC的平方=AB的平方+AC的平方
=6（GM的平方）+（2AM）的平方
=6（GM的平方）+4（AM的平方）
=6（GM的平方）+4×3（GM的平方）
=18（GM的平方）
所以 BC的平方=9（AG的平方）
即 BC=3AG
再看第二题：
由上题可知 AB的平方=6（GM的平方）
把AB=根号6代入上式可得
（根号6）的平方=6（GM的平方）
6（GM的平方）=6
GM的平方=1
所以 GM=1
因为 BG=2GM,BM=BG+GM
所以 BM=3GM=3×1=3

追问

可以不用相似吗？有其他的方法吗？

追答

应该没了

Answer 2

楼上正解

Answer 3

我不知道吖

Answer 4

由题意可知 △ABG∽△MAG∽△MBA？？

这三个三角形不可能全等
因为 M是AC中点
所以 CM=AM
因为 BG=2GM
所以 MB=3MG
因为 ∠AGM=90°
所以 MA=2MG
所以 CA=2MA=4MG

Answer 5

△ABG∽△MAG∽△MBA
所以 GM:AM=AM:BM
AM的平方=GM×BM
因为 BM=3GM
所以 AM的平方=3（GM的平方）
同样 AB:BG=BM:AB
又因 BG=2GM,BM=3GM
所以 AB的平方=BG×BM=6(GM的平方）
由勾股定理得
AG的平方=AB的平方-BG的平方
=6（GM的平方）-4（GM的平方）
=2（GM的平方）
同理可得
BC的平方=AB的平方+AC的平方
=6（GM的平方）+（2AM）的平方
=6（GM的平方）+4（AM的平方）
=6（GM的平方）+4×3（GM的平方）
=18（GM的平方）
所以 BC的平方=9（AG的平方）
即 BC=3AG
再看第二题：
由上题可知 AB的平方=6（GM的平方）
把AB=根号6代入上式可得
（根号6）的平方=6（GM的平方）
6（GM的平方）=6
GM的平方=1
所以 GM=1
因为 BG=2GM,BM=BG+GM
所以 BM=3GM=3×1=3

Answer 6

楼上正解