Question

已知f(x)的定义域是R，且对任意a,b∈R，都有f(a+b)=f(a)+f(b),并且当x>0时，f(x)<0恒成立，f(1)=-1. 问

（1）证明函数y=f(x)是R上的减函数 （2）证明函数y=f(x)是奇函数 （3）求函数y=f(x)在[m,n](m,n∈Ζ,m<n)的值域。

Answer 1

1、设x1<x2，则：
f(x1)－f(x2)=f(x1)－f[(x2－x1)＋x1]=f(x1)－[f(x2－x1)＋f(x1)]=f(x2－x1)
因x2－x1>0，则f(x2－x1)<0，即：f(x1)－f(x2)<0，从而f(x)是减函数；

2、以a=b=0代入，得：f(0)=f(0)＋f(0)，则f(0)=0
f(－x)＋f(x)=f[(－x)＋x]=f(0)=0，则：f(－x)=－f(x)，即f(x)是奇函数；

3、f(x)是R上的减函数，则在区间[m，n]上的值域是[f(n)，f(m)]
另外，当x∈Z时，有：f(x＋1)=f(x)＋f(1)=f(x)－1，即：f(x＋1)－f(x)=－1=常数，则数列{f(x)}是以f(1)=－1为首项、以d=－1为公差的等差数列，则：当x∈Z时，有f(x)=f(1)＋(x－1)d=－x，所以f(n)=－n，f(m)=－m
则：值域是[－n，－m]

Answer 2

（2）令a=0,b=0,得f(0)=f(0)+f(0),∴f(0)=0
令a=x,b=-x得f(0)=f(x)+f(-x)=0,即f(-x)=-f(x)，∴函数y=f(x)是奇函数
（1）任取两自变量x1和x2，且x1<x2，则x2-x1>0,∴f(x2-x1)<0
又因为f(x2-x1)=f[x2+(-x1)]=f(x2)+f(-x1)=f(x2)-f(x1)<0，即f(x2)<f(x1)
∴y=f(x)是R上的减函数
（3）f(2)=f(1+1)=f(1)+f(1)=-2以此类推f(n)=-n，
因为是减函数，所以在[m,n]上的值域为[f(n),f(m)]=[-n,-m]

Answer 3

（1）设x1、x2为R上的任意实数，且x1小于x2,则，必定存在正实数C使得x2=x1+C成立，所以f(x2)-f(x1)=f(x1+C)-f(x1)=f(x1)+f(C)-f(x1)=f(C)，C为正实数，大于0，所以f(C)小于0，所以f(x2)-f(x1）小于0，f(x2)小于f(x1)，因为x1、x2为R的任意实数，所以原函数为R上的减函数，命题得证
（2）a、b为意义实数，所以令a=b=0，代入f(a)+f(b)=f(a+b),得f(0)+f(0)=f(0+0),所以f（0）=0,；再令a=-b，代入f(a)+f(b)=f(a+b),得f(-b)+f(b)=f(-b+b)=f(0)=0，即f(-b)+f(b)=0，所以f(-b)=-f(b）又因为原函数定义域为R关于原点对称，所以原函数是奇函数，得证
（3）m、n都是整数，所以由f(a+b)=f(a)+f(b),得f(m)=f(1)+f(m-1)=f(1)+f（1）+f(m-2)=……=
mf（1）=-m，同理f(n)=-n，m<n所以-m大于-n，由（1）知，此函数为R上的减函数所以此函数在[m,n]上的值域为[-n,-m]