Question

若x+y=a+b,且x^2+y^2=a^2+b^2,请证明:x^2009+y^2009=a^2009+b^2009

Answer 1

给你好算的
x+y=a+b平方可得x^2+2xy+y^2=a^2+2ab+b^2
又因为x^2+y^2=a^2+b^2，所以2xy=2ab
所以x^2-2xy+y^2=a^2-2ab+b^2
所以(x-y)^2=(a-b)^2
所以x-y=a-b或x-y=b-a
所以x=a,y=b或x=b,y=a
所以x^2009+y^2009=a^2009+b^2009

Answer 2

x+y=a+b
(x+y)^2=(a+b)^2
x^2+y^2+2xy=a^2+b^2+2ab
而：x^2+y^2=a^2+b^2
所以,xy=ab

然后下面一段是数学归纳法：
设： x^n+y^n=a^n+b^n,在n>0时都成立
则：x^(n+1)+y^(n+1)
=(x^n+y^n)(x+y)-(xy^n+x^ny)
=(x^n+y^n)(x+y)-xy(x^(n-1)+y^(n-1))
=(a^n+b^n)(a+b)-ab(a^(n-1)+b^(n-1))
=a^(n+1)+b^(n+1)
所以x^n+y^n=a^n+b^n,在n>0时都成立是真命题
所以x^2009+y^2009=a^2009+b^2009

数学归纳法，即证明第一块骨牌会倒（x+y=a+b）
在证明前一块倒下了后一块也会倒下（若x^n+y^n=a^n+b^n,则x^n+1+y^n+1=a^n+1+b^n+1）
则可以递推全部实数，即可证明之

Answer 3

x+y=a+b
(x+y)^2=(a+b)^2
x^2+y^2+2xy=a^2+b^2+2ab
而：x^2+y^2=a^2+b^2
所以,xy=ab

所以x^2-2xy+y^2=a^2-2ab+b^2
(x-y)^2=(a-b)^2
x-y=a-b或x-y=b-a
所以x=a,y=b或x=b,y=a
所以x^2009+y^2009=a^2009+b^2009