Question

高一圆的方程

设圆满足条件：①截y轴所得的弦长为2②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1③圆心到直线l：x-2y=0的距离为√5/5，求该圆的方程

Answer 1

解：

如图所示：

设圆的方程为：(x－a)²＋(y－b)²＝r²

则圆心坐标为P(a，b)，半径为r

P到x轴，y轴的距离分别为|b|，|a|

由条件②知：

x轴截圆所得劣弧所对的圆心角为90°，则圆P截x轴所得的弦长为√2 r

由b²＋(√2/2 r)²＝r²，得：r²＝2b²

由条件①得：r²＝a²＋1

故2b²－a²＝1  ( * )

由条件③知：

点P(a，b)到直线x－2y＝0的距离：

d＝|a－2b|/√5＝√5/5

即a－2b＝±1

当a－2b＝1时，a＝2b＋1代入( * )，解得：b＝－1，a＝－1；

当a－2b＝－1时，a＝2b－1代入( * )，解得：b＝1，a＝1；

则r²＝2b²＝2

故所求圆的方程为(x＋1)²＋(y＋1)²＝2或(x－1)²＋(y－1)²＝2．