Question

数序概率难题

从1-10中随机选一个数X，再从X-10中随机选一个数字Y
再从Y-10中……问平均几次可以选到10？

Answer 1

E(X)=(1+...10)*(1/10)=5.5
E(Y|X)=(X+..10)/(10-X+1)
E(Y)=E(E(Y|X))=E((X+...10)/(11-X))=E((X+10)(11-X)/2/(11-X))=E(X+10)/2=E(X)/2+5=7.25
平均11-E(Y)次机会选到10
大概平均3~4次

追问

额，能稍微解释一下么？？
我用电脑模拟出来是 3.8 左右
请问你是怎么算的啊？

追答

我其实得3.75
但是次数不能说小数吧。
这样
就像我上面说的
知道期望值这个东西吗？
比如1,2，...10
每个数概率为1/10
那么随机取一个数的期望值=1（取1的概率）+2（取2的概率）。。。。10(取10的概率）
=1（1/10)+2(1/10)+....10(1/10)
=55/10
偷懒的话，可以利用平均分布的期望值公式=(头项+尾项)/2, 但老师有的时候可能不允许直接使用这个

那么1到10之间，随机取得数字的期望值就是5.5咯
E(X)=5.5, E就是期望值，expectation

再考虑Y
Y|X,就是表示 (Y given X)的分布，此时X作为影响Y的一个变量
假设你取得数字X,那么你就剩下（11-X）个数字可取
这11-X个数字由（X,...,10)
取得每个的概率为1/(11-X)
那么，Y|X期望值=X/(11-X)+....10/(11-X)=(X+...10)/(11-X)
这里等差数列求和(X+...+10),公差1，项数11-X
求和=(X+10)(11-X)/2
所以Y|X期望值E(Y|X)=(X+10)/2，这个期望值是变量，所以还要在此基础求这个变量的期望值
E(E(Y|X))
E(Y)=E(E(Y|X))=E(X/2)+E(10/2)=E(X)/2+5=7.25

选掉Y之后，平均剩下11-7.25个数字可选=3.75个选项可选
由于是平均分布，也就相当于每3.75次能选到10
平均3~4次能选到10

Answer 2

第一次确实是5.5,第二次为2.25,第三次为1.125,第4次为0.5625,但是答案没法为2个,所以就1.125+0.5625=1.6875/2=0.844675*4=3.387次